Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

Дискретный анализ (2 семестр)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Московский физико-технический институт

(государственный университет)

                                                                               УТВЕРЖДАЮ

                                                                                                                                   Проректор по учебной работе

                                                                                                                                   ______________Ю.А.Самарский

                                                                                                                                     «____»________________2003 г.

 

П Р О Г Р А М М А

 

по курсу: ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ

по направлению 511600

факультет            ФУПМ

кафедра математических основ управления

курс I

семестр II

лекции – 32 час.            Экзамен – нет

семинары – 32 час.     Зачет с оценкой – II семестр

лабораторные занятия – нет            Самостоятельная работа –

                                                2 часа в неделю

ВСЕГО ЧАСОВ            64

Программу и задание составил: академик РАН, проф. Ю.И. Журавлёв

                                                д.ф.- м.н., проф. Ю.А.Флёров

                                                д.ф.- м.н , проф.В.К.Леонтьев

 

Программа обсуждена на заседании кафедры математических основ управления 27 декабря 2002 г.

 

 

Заведующий кафедрой                     С.А.Гуз

Основы теории полугрупп, групп, колец и полей

1. Алгебраические структуры. Бинарные операции. Полугруппы и моноиды.

2. Группы. Примеры групп. Группа перстановок (симметрическая группа). Теорема Келли. Подгруппы. Порождающие или образующие элементы группы.

3. Левые и правые смежные классы группы по подгруппе. Индекс подгруппы в группе. Порядок элемента группы. Циклические группы. Теорема Лагранжа.

4. Сопряженные элементы и сопряженные подгруппы. Нормальные делители. Факторгруппа.

5. Изоморфизмы, автоморфизмы и гомоморфизмы групп. Ядро гомоморфизма. Внутренние автоморфизмы. Теорема о гомоморфизме групп.

6. Кольца. Примеры колец. Кольцо целых чисел. Кольцо многочленов над кольцом (полем). Кольца классов вычетов в кольце целых чисел и кольце многочленов. Подкольцо. Обратимые элементы кольца, группа обратимых элементов кольца, делители нуля.

7. Левые, правые и двусторонние идеалы. Главные идеалы. Максимальные и простые идеалы. Кольца классов вычетов. Идеалы в кольцах многочленов. Факторкольцо. Теорема о гомоморфизме колец.

8. Деление с остатком в кольцах целых чисел и многочленов над кольцом целых чисел. Евклидовы кольца. Идеалы в евклидовых кольцах. Кольца главных идеалов. Факториальность колец главных идеалов.

9. Поля. Примеры полей. Поле классов вычетов. Характеристика поля. Простое подполе. Конечные и алгебраические расширения полей. Поле разложения. Конечные поля.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.

2. Ван-дер-Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.

3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1971.

4. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп.   М.: Наука, 1972.

5. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1971.

ЗАДАНИЕ

по курсу «Дискретный анализ» для студентов ФУПМ, I курс, II семестр

1. Построить некоммутативную группу минимального порядка.

2. Построить некоммутативную группу порядка 8, все подгруппы которой нормальны.

3. Доказать, число элементов, сопряженных с элементом a в группе G, равно индексу (G: N(a)) , т.е. числу смежных классов по подгруппе N(a) – нормализатору элемента a

4. Если Н – собственная подгруппа конечной группы Q то объединение сопряженных с Н подгрупп не содержит всех элементов группы.

5.Подгруппа, порожденная некоторым классом сопряженных элементов группы G, является нормальным делителем группы G.

6. Пусть G – циклическая группа и а 1 в а 2 два ее образующих элемента. Тогда существует автоморфизм, переводящий а 1 в а 2. Обратно, любой автоморфизм группы G переводит образующий элемент группы G в образующий элемент группы G.

7. Доказать, что всякая конечная нециклическая группа шестого порядка изоморфна S 3.

8. Пусть N и Н – нормальный делитель и подгруппа группы G соответственно. Пусть также   P, принадлежащее G/N,   состоит из тех смежных классов, в каждый из которых входит хотя бы один элемент из Н. Доказать:

       а) Р – подгруппа факторгруппы G/N;

       б) если N принадлежит H, то N– нормальный делитель Н и Р=Н/N;

       в) если Н – нормальный делитель группы G, то Р – нормальный делитель группы G/N.

9. Доказать, что группа симметрий правильного шестиугольника гомоморфна группе симметрий ромба.

10. Пусть G – абелева группа и Н – подгруппа всех ее элементов конечного порядка. Тогда в факторгруппе G/ H все неединичные элементы имеют бесконечный порядок.

11. Пусть Q – множество и M(Q) – множество всех его подмножств. Введем в М операции

Доказать, что <М , + , * > –кольцо с единицей, все ненулевые элементы которого обладают свойством a+a= 0.

12. Элемент х = 0 кольца К называется нильпотентным, если xn= 0 при некотором п. Показать, что:

а) нильпотентность х влечет обратимость 1-х, если К – кольцо с единицей;

б) кольцо Zm=Z/mz содержит нильпотентные элементы в том и только том случае, если m делится на квадрат натурального числа, большего единицы;

в) множество нильпотентных элементов коммутативного кольца образует подкольцо. Привести опровергающий пример в некоммутативном случае.

13. Доказать, что идеал (х) в кольце многочленов Z[x] над кольцом целых чисел Z имеет в качестве собственного делителя идеал (2, х). Показать, что оба идеала при этом являются простыми.

14. Найти в кольце матриц второго порядка подполе, изоморфное полю комплексных чисел.

15. Решить сравнения: 7x=15(mod 23) и 26x= 8(mod 53) .

16. Построить пример кольца, в котором разложение на простые множители неоднозначно.

17. Доказать, что если в кольце главных идеалов произведение  a*b делится на d и элемент а взаимно прост с d, то b делится на d.

18. Пусть \varphi и \psi – гомоморфизмы  коммутативной мультипликативной группы G в аддитивную группу G*. Доказать, что отображение  \varphi + \psi , задаваемое равенством

,

также является гомоморфизмом G в G*. Доказать, что множество гомоморфизмов G в G*. C определенной выше операцией сложения образует абелеву группу.

19. Пусть { \varphi } – множество эндоморфизмов (т.е. гомоморфизмов в себя) абелевой группы G. Доказать, что если определить на { \varphi } операцию произведения как последовательное применение отображений, то вместе с операцией сложения на { \varphi }, определенной в предыдущей задаче, множество { \varphi } становится кольцом.

20. Доказать, что всякое ассоциативное кольцо с единицей изоморфно вкладывается в кольцо эндоморфизмов своей аддитивной группы.

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика