Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

Учебно-методический семинар кафедры МОУ ФУПМ “Стохастический анализ в задачах”

Семинар в 2012

(осень 2012)  

Д.В.Беломестный, А.В. Гасников, Г.К. Голубев, Ю.Е. Нестеров, В.Г. Спокойный

Курс поддержан Лабораторией структурных методов анализа данных в предсказательном моделировании (ПреМоЛаб http://www.premolab.ru/), ФУПМ МФТИ, грант правительства РФ дог. 11.G34.31.0073.

Совместный НМУ-МФТИ-ВШЭ спецкурс и спецсеминар для студентов 2-5 курсов и аспирантов.
Курс засчитывается в качестве годового курса по выбору на физтехе и рекомендуется студентам мат. фак. ВШЭ

Семинары проводят: Е.О. Черноусова, А.Л. Суворикова

Курс является продолжением курса, читаемого в прошлом семестре. Однако изложение будет вестись таким образом, чтобы за происходящим можно было следить, не посетив занятия прошлого семестра.

В осеннем семестре планируется особое внимание уделить:

Явлению концентрации меры. Неравенству Талаграна и вариациям на эту тему; Геометрическим вероятностям; Изопериметрическому неравенству Чигера и его обобщениям; Вероятностным алгоритмам и вероятностному анализу алгоритмов, в частности современным методам в стохастической оптимизации; Методам Монте-Карло (HitandRun, MCMC); Свойствам марковских процессов (СМО) при термодинамическом предельном переходе; Приложениям вероятностных методов в асимптотической комбинаторике; Обратным задачам теории вероятностей.

Расписание некоторых занятий:

Современные методы Монте-Карло и оптимизации для решения задач оптимальной остановки в финансовой математике

Д.В. Беломестный - 15, 22, 29 сентября

Такие задачи финансовой математики как вычисление цен Американских опционов сводятся к решения многомерных задач оптимальной остановки, которые из-за большой размерности могут быть решены только с использованием методов Монте-Карло. В курсе будут изложены современные подходы для численного решения многомерных задач оптимальной остановки основанные на методе Монте-Карло и использующие оптимизацию. Будут представлены различные алгоритмы, а также теоретические результаты касающиеся их сходимости. Затем мы обсудим применение этих алгоритмов к конкретным задачам финансовой математики и завершим курс кратким обзором литературы.

Список лекций:

  1. Многомерные задачи оптимальной остановки в финансовой математике.Методы Монте-Карло: основные понятия.
  2. Регрессионные Монте-Карло алгоритмы построения нижних оценок для оптимальных решений и их сходимость.
  3. Оптимизационные Монте-Карло алгоритмы построения нижних оценок для оптимальных решений и их сходимость.
  4. Построение верхних границ для оптимальных решений с помощью двойственного представления. Алгоритмы двойственной оптимизации.

Список литературы:

  1. Belomestny, D. (2012).Solvingoptimalstoppingproblemsbyempiricaldualoptimizationandpenalization, toappearinAnnalsofAppliedProbability, available at www.uni-due.de/~hm0124.
  2. Belomestny, D. (2011). Pricing Bermudan options using regression: optimal rates of convergence for lower estimates. Finance and Stochastics, 15(4), 655-683.
  3. Belomestny, D. (2011). On the rates of convergence of simulation-based optimization algorithms for optimal stopping problems. Ann. Appl.Probab., 21(1), 215-239.
  4. Belomestny, D., Bender, Ch. and Schoenmakers, J. (2009). True upper bounds for Bermudan product svianon-nested MonteCarlo. Mathematical Finance, 19(1), 53-71.

 

Статистические методы в цифровой связи

Г.К. Голубев - 24 ноября

Статистические методы являются одной из основ современной цифровой связи. В качестве примера использования байесовского статистического подхода в задачах передачи данных будет рассмотрена задача определения координат на поверхности Земли передатчика, нелегально использующего спутниковый канал связи. Для его локализации используются два гео-стационарных спутника и вычисление координат осуществляется на основе измерения задержек и доплеровских сдвигов сигналов, полученных со спутников. Цель лекции - рассказать почему задача оценивания этих параметров является очень непростой, как с технической, так и со статистической точек зрения и описать подход к ее решению, основанный на методах семи параметрического оценивания.

ЛИТЕРАТУРА:

  • Kaufman, J. E. and Hutchinson, W. K.Emitter Location with LES 8-9 Using Differential Time-of-Arrival and Differential Doppler Shift.Technical Report 698 (2000).

 

Семинар в 2012

(весна 2012)

А.В.Гасников, Г.К.Голубев, Е.О.Черноусова

Стохастический анализ в задачах

Научные консультанты: О. Г. Горбачев (МФТИ), С. А. Гуз (МФТИ), А. В. Колесников (ВШЭ), В. А. Малышев (МГУ), А. Н. Соболевский (ИППИ РАН), В. Г. Спокойный (зав. лабораторией ПреМоЛаб), Б. Т. Поляк (ИПУ РАН)

Курс поддержан Лабораторией структурных методов анализа данных в предсказательном моделировании (ПреМоЛаб http://www.premolab.ru/), ФУПМ МФТИ, грант правительства РФ дог. 11 11.G34.31.0073

По субботам (с 11 февраля) с 12.00 до 15.30 в Независимом московском университете в ауд. 304.

Учебные материалы

Задачи курса .pdf
Производящие функции.pdf
О равновесиях макросистем.pdf
Сети массового обслуживания при термодинамическом предельном переходе.pdf
Применение вероятностных методов в теории чисел.pdf
Элементы теории меры и теоремы Колмогорова о продолжение меры.pdf

Задачи (Exercise sheets. pdf)

[Задачи по занятию 11 февраля .pdf]

Программа курса:

  1. Парадоксы в теории вероятностей.
  2. Сложность и случайность.
  3. Вероятностный анализ алгоритмов (сложность в среднем, сложность для почти всех входов), вероятностные алгоритмы и их анализ (проверка тождеств с помощью метода Монте-Карло, вероятностное округление), дерандомизация, вероятностные вычисления.
  4. Явление концентрации меры (А. Пуанкаре, П. Леви, В. Мильман, М. Громов, М. Талагран) или геометрическое (изопериметрическое) толкование предельных теорем и законов больших чисел теории вероятностей. Приложения явления концентрации меры.
  5. Производящие (характеристические) функции в теории вероятностей и (асимптотической) комбинаторике
  6. Вероятностный метод в комбинаторике.
  7. Эргодическая теория марковских процессов и её приложения (задача о разборчивой невесте, о случайных блужданиях и мыльных пленках о парадоксе Эренфестов и концепции равновесия макросистемы).
  8. Сети массового обслуживания (при термодинамическом предельном переходе). Понятие о скейлингах марковских процессов.
  9. Вероятностные методы в теории чисел.
  10. Элементы теории Вапника-Червоненкиса, байесовские методы, машинное обучение.
  11. Методы Монте-Карло. Стохастическая оптимизация. Субоптимальные вероятностные приближенные алгоритмы выпуклой оптимизации. Markov chain Monte Carlo revolution.
  12. Приложения вероятностных методов в экономике (финансовой математике), биологии, физике, машинном обучении.

Литература:

  1. Гасников А.В., Черноусова Е.О., Нагапетян Т.А. Стохастический анализ в задачах // Математическое просвещение, № 16. 2012.
  2. Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. М.-И.: РХД, 2002.
  3. http://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-probability.pdf
  4. http://mech.math.msu.su/~malyshev/Malyshev/Lectures/course.pdf
  5. http://www.math.duke.edu/~rtd/PTE/PTE4_Jan2010.pdf
  6. ftp://ftp.mccme.ru/users/shen/kolmbook.pdf
  7. Motwani R., Raghavan P. Randomized algorithms. Cambridge Univ. Press, 1995.
  8. Ledoux M. Concentration of measure phenomenon, Providence, RI, Amer. Math. Soc., 2001 (Math. Surveys Monogr. V. 89)
  9. Сачков В.Н. Комбинаторные методы дискретной математики. М.: МЦНМО, 2004.
  10. Ландо С.К. Лекции о производящих функциях. М.: МЦНМО, 2009.
  11. Леонтьев В.К. Избранные задачи комбинаторного анализа. М.: МГТУ, 2001.
  12. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. М.: Мир & Бином, 2004.
  13. http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/book.pdf
  14. Алон Н., Спенсер Дж. Вероятностный метод. М.: Бином, 2006.
  15. Кельберт М.Я., Сухов Ю.М. Вероятность и статистика в примерах и задачах. Т. 2. М.: МЦНМО, 2010.
  16. http://zoneos.com/traffic/
  17. http://frtk.ru/forstudents/study/studyMaterials/4kurs/TMO2010-arpggwlikuv.pdf
  18. Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел. М.: ИЛ, 1963.
  19. Червоненкис А.Я. Компьютерный анализ данных. Яндекс, 2009.
  20. http://www2.isye.gatech.edu/~nemirovs/
  21. http://www-stat.stanford.edu/~cgates/PERSI/papers/MCMCRev.pdf
  22. http://www.machinelearning.ru/


Семинар в 2011

Вторник 18.30 в 113 ГК (весна 2011)

Ближайшее заседание - 26 апреля

 

Е.О. Ежова + А.В. Гасников (1 час) 


  1Понятие колмогоровской сложности.
 
   Существуют программы (gzip, zip. rar), сжимающие файлы. По сжатой версии файла парные программы-декомпрессоры восстанавливают исходный документ. В первом приближении колмогоровскую сложность документа можно описать как длину его сжатой версии. Файлы, имеющие регулярную структуру - хорошо сжимаются, а следовательно будут иметь маленькую колмогоровскую сложность.
   Колмогоровской сложностью слова можно назвать также количеством информации, содержащейся в нем. Слово (двоичное) из одних нулей содержит мало информации, его легко описать. Какая-нибудь абракадабра, если ее нельзя коротко описать, содержит "много информации" (пусть и бесполезной).
 
   2. Связь колмогоровской сложности со случайностью.
 
   Большинство слов несжимаемы или почти несжимаемы. Можно провести такой мысленный эксперимент. 80000 раз подкидываем монетку и результаты бросания записываем в файл длиной 10000 байтов (1байт=8бит). Можно держать пари, что ни один из существоваших до начала эксперимента архиваторов не сможет сжать этот файл более чем на 10 байтов.
 
  3. Понятие дефекта случайности.

Почему, проверяя качество электронного датчика случайных чисел, мы сочтем его плохим, получив последовательность  0101010101010101 ...?
 
   4. Шенноновская энтропия. Кодирование. Неравенство Крафта-Макмиллана.
 
Литература

Успенский   В.А.,   Верещагин   Н.К.,   Шень   А.   Колмогоровская сложность   и алгоритмическая случайность. М.: МЦНМО, 2011.  ftp://ftp.mccme.ru/users/shen/kolmbook.pdf

 

А.В. Гасников (30 мин)

Парадоксы в теории вероятностей и теории случайных процессов (продолжение)

В частности, речь зайдет о парадоксе обратимости в статфизике. Примере Эренфестов и обобщениях.

Заседание 12 апреля:

Е.О. Ежова (60 мин.)

Криптографические протоколы.Базы данных компьютеров хранят огромное количество информации. Ясно, что информация может быть общедоступной, может быть закрытой. Концепция разграничения доступа (разделение пользователей на категории в зависимости от вида доступной информации) требует идентификации пользователя.Таким образом, протокол аутентификации - процесс идентификации пользователя, защищающий информационную систему от несанкционированного доступа. При этом абонент. прошедший аутентификацию, доказывает проверяющей системе, что он действительно тот, за кого себя выдает, но при этом проводит доказательство так, что никто другой не может повторить его доказательства самостоятельно. Такое понятие в криптографии получило название - доказательство с нулевым разглашением. То есть, убедившись в правильности доказательства (что абонент имеет право доступа к секретной информации), нельзя самостоятельно без помощи автора представить это доказательство самому.Обычный текст превращается в документ, если "под ним" стоит подпись. Электронно-цифровой подписью (ЭЦП) называется реквизит электронного документа, появление которого в документе получателем подтверждает два факта: то, что документ дошел до получателя без искажений, и то, что он подписан именно отправителем.. При этом невозможно отправителю подменить подписанный им текст либо отказаться от подписи. Неотказуемость либо неопровержимость подписи ставят в жесткие рамки отправителя сообщения, и в то же время страхуют получателя от возможных последствий недобросовестности отправителя. С другой стороны, отправитель может быть уверен, что его ЭЦП никто не может подделать. Таким образом, документы, подписанные ЭЦП имеют юридическую значимость.

Литература
1. Музыкантский А.И., Фурин В.В. Лекции по криптографии. М.: МЦНМО, 2010.

 А.В. Гасников (30 мин.)

Парадоксы и контрпримеры в теории вероятностейМного удивительных и неожиданных наблюдений можно сделать уже в простейшей схеме бросания монеты (схема Бернулли).Например, в случайной последовательности нулей единиц (длины n) с вероятностью близкой к 1 найдется подпоследовательность из ~ log n подряд идущих единиц.Другой пример (из книги А. Шеня). Давайте сыграем в такую игру: вы называете одну из восьми комбинаций001, 010, 010, 011, 100, 101, 110, 111, я называю другую, потом мы бросаеммонету до тех пор, пока в последовательности нулей и единиц (результатыбросаний) не появится одна из двух наших комбинаций. Тот, чья комбинацияпоявится, выиграл. (Заметим, что некоторые комбинации тре-буют в среднем меньшего числа бросаний, чем другие, но первый игрокможет выбрать любую - так в чём же подвох?)Тем не менее игра нечестная, и даже удивительно, насколько нечестная:шансы второго игрока в ней по крайней мере вдвое выше. Дело в том, чтоон выбирает свою комбинацию, уже зная комбинацию первого, и может вы-брать её так, чтобы она появилась раньше с вероятностью по крайней мере2/3. Например, если вы выберете 010, то я могу назвать 001 и выиграю свероятностью 2/3.

Литература

  1. Стоянов Й. Контрпримеры в теории вероятностей. М.: Факториал, 1999. 
  2. Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. Москва – Ижевск, РХД, 2002.
  3. Шень А. Вероятность: примеры и задачи. М.: МЦНМО, 2007. http://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-probability.pdf 
  4. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения Т. 1, 2. М.: УРСС, 2010.
  5. Задач из Колмогоровских студентческих олимпиад по теории вероятностей: http://mech.math.msu.su/probab/?

 

О семинаре

Курсы “Теория вероятностей”, “Случайные процессы”, “Математическая статистика” читаются студентам ФУПМа МФТИ вот уже более 30 лет. Во многом эти курсы сформировались под влиянием и самом непосредственном участии профессора Андрея Александровича Натана. На данный момент уже выпущены пособия по материалам этих курсов, написанные А.А. Натаном в соавторстве с учениками (ныне лекторами по этим дисциплинам) доцентами С.А. Гузом и О.Г. Горбачевым. Пособия получили положительные отзывы специалистов. Однако как отмечал Андрей Александрович, пособия представляют собой лишь запись (конспект) курса лекций, и соодержат мало разобранных примеров. Этот пробел восполнен выпущенными кафедрой МОУ сборниками задач по соответствующим дисциплинам. Но восполнен он лишь частично, поскольку сборники задач также не соодержат разобранных примеров.

Ввиду вышесказанного и в память о большом человеке, талантливом педагоге А.А. Натане кафедра МОУ ФУПМ, которую основал и долгие годы возглавлял Андрей Александрович, планирует выпустить учебное пособие:

  • Стохастический анализ в задачах. Под. ред. Гасникова А.В. (сост. Воронцов К.В, Гасников А.В., Горбачев О.Г., Гуз С.А., Ежова Е.О, Райгородский А.М., Нагапетян Т.А.), М.: МФТИ, 2011.

в основу которого положены задачи (в том числе повышенной сложности) с решениями, предлагавшиеся в разные годы, в основном студентам ФУПМа, на семинарах, сдачах заданий и экзаменах. Главными отличительными особенностями пособия являются: а) широкий спектр представленного материала (большая часть которого уже внедрялась (в разные годы) в процесс обучения), б) отражение ряда современных течений и в) нацеленность на приложения. Так, например, помимо классических разделов, в пособии представлены следующие разделы стохастического анализа, играющие важную роль в современных приложениях (и далеко не всегда входящие в стандартные учебники и сборники задач):

1) вероятностные методы в комбинаторике (идеи П. Эрдеша (оценка чисел Рамсея), приложения предельных теорем теории вероятностей в асимптотической комбинаторике);

2) производящие (характеристические) функции в теории вероятностей и (асимптотической) комбинаторике (пропаганда идеи: часто для нахождения чисел, имеющих комбинаторную или вероятностную природу, выгодно изучить некоторое функциональное уравнение относительно неизвестной функции, которая соодержит в себе всю информацию об этих числах): формальные грамматики (теорема Лагранжа), перечислительная комбинаторика (теория Д. Пойа), метод включения и исключения и его обобщения (подход Дж.-К. Рота), метод отыскания значений (и их асимптотик) различных комбинаторных сумм (подход Г.П. Егорычева), сведение вычисления (асимптотики) чисел, имеющих вероятностную природу, к вычислению вычетов (к исследованию асимптотического поведения интегралов в комплексной плоскости, зависящих от параметра, с помощью метода перевала или стационарной фазы), предельные теоремы и законы больших чисел;

3) обобщенная схема размещения В.Ф. Колчина с приложениями к исследованию случайных графов и матриц (пропаганда идеи: иногда для подсчета вероятности некоторого события удобно представить эту вероятность как условную), метод моментов, локальная предельная теорема;

4) метод Монте - Карло (с приложениями к задачам высшей математики: численное решение интегральных и дифференциальных уравнений);

5) вероятностный анализ алгоритмов (сложность в среднем, сложность для почти всех входов), вероятностные алгоритмы и их анализ (проверка тождеств с помощью метода Монте – Карло, вероятностное округление), дерандомизация, вероятностные вычисления (вероятностная машина Тьюринга, полиномиальный вероятностный алгоритм проверки простоты числа);

6) (суб- и супер-)мартингалы и их свойства (теорема Дуба, асимптотические свойства (стохастический аналог известного из курса математическго анализа утверждения: монотонная ограниченная последовательность сходится), стохастический интеграл по (семи-)мартингалу, мартингальные неравенства, концентрационное неравенство Талаграна и исследование “надежности” случайного графа), приложение мартингалов к построению итерационных процессов решения задач оптимизации (например, с помощью второго метода Ляпунова), стохастическая аппроксимация (процедура Роббинса - Монро), теорема о баллотировке;

7) финансовая математика (приложения мартингалов, полные рынки, понятие арбитража, биномиальная модель Кокса – Росса – Рубинштейна (броуновское движение) и теория Блэка – Шоулса справедливой цены Европейского опциона (винеровский процесс));

8) теория страхования (оценка, исходя из мартингального неравенства, вероятности разорения (теорема Крамера – Лундеберга));

9) марковские процессы и их свойства (строго марковское свойство, полугрупповое свойство, инфинитезимальный (порождающий) оператор группы, теоремы о неподвижных точках, сжимающие операторы, фокусирующие операторы, стохастический вариант теоремы Фробениуса – Перрона, эргодические теоремы с оценкой скорости сходимости), приложения эргодических теорем для марковских процессов (основные идеи (использовавшиеся до 2003 г.) ранжирования web -страниц корпорацией Google ), численное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа (и других уравнений полуэллиптического типа) с помощью случайного блуждания (развитие идей метода Монте - Карло);

10) оптимальная остановка стохастических процессов (задача о разборчивой невесте и справедливой цене Американского опциона), элементы теории исследования операций (принцип Вальда - Беллмана);

11) стохастические дифференциальные уравнения (с приложениями в экономике (задача о деятельности коммерческого банка (по работам И.Г. Поспелова с коллегами)) и технике (фильтр Калмана - Бьюси)), элементы управления и наблюдения в условиях неопределенности;

12) приложения вероятностных концепций в физике (случайные блуждания, диффузия, просачивание, транспортные потоки, турбулентность, элементы статистической физики (Л. Больцман, Дж. Гиббс, А. Эйнштейн, Н.Н. Боголюбов, А.Я. Хинчин, Н.С. Крылов, Я.Г. Синай, Д. Рюэль, В.В. Козлов));

12) вероятностные приложения тауберовых теорем;

13) эргодическая теория (и ее приложения, например, в теории динамических систем (бильярды Я.Г. Синая), статистической физике (газ в сосуде) и теории чисел (теорема Вейля, результаты Гаусса – Кузьмина по распределению оснований цепных дробей, распределение простых чисел (от результатов П.Л. Чебышева до результатов А.М. Вершика))), оценка неизвестных параметров эргодических случайных процессов;

14) явление концентрации меры (А. Пуанкаре, П. Леви, В. Мильман, М. Громов, М. Талагран) или геометрическое (изопериметрическое) толкование предельных теорем и законов больших чисел теории вероятностей (объяснение концентрации значений “хороших” функций (таких, например, как хроматическое число графа или перманент матрицы), определенных на случайных комбинаторных объектах (графах или матрицах) большой размерности, в окрестности медианы функции (асимптотически, по размерности объекта, равной математическому ожиданию); а также объяснение “фазовых переходов” в случайных комбинаторных объектах большой размерности), нелинейный закон больших чисел (некоторые результаты В.И. Опойцева), элементы стохастического агрегирования, экспандеры, понятие спектра, предельные формы (А.М. Вершик, Я.Г. Синай);

15) геометрические вероятности (задача об игле Бюффона и необходимые понятия интегральной геометрии, средняя площадь проекции и гауссова кривизна (формула Гаусса - Бонне));

16) концепция энтропии, теория макросистем (Приводится основной аппарат, необходимый для исследования динамики макросистем при больших значениях времени. В основе динамики лежит дискретный эргодический марковский процесс с огромным числом состояний. При больших значениях времени распределение макросистемы по микросостояниям будет близко к стационарному. С ростом размерности макросистемы (количества состояний марковского процесса) стационарное распределение концентрируется в окрестности наиболее вероятного макросостояния, которое и принимается за равновесное для данной макросистемы. В качестве примера применения описанного формализма, приводится вывод статической гравитационной модели расчета матрицы корреспонденций (одной из наиболее популярных в приложениях) исходя из “разумной” (индивидуально выгодной) динамики обменов местами работы и местами жительства. Другими, более известными, примерами, являются вывод  распределения Больцмана - Парето населения по доходу (кинетика социального неравенства) и вывод модели хищник – жертва (по Николису - Пригожину));

17) понятие количества информации (теорема Шеннона – Макмиллана);

18) безгранично – делимые распределения (процесс Леви, представление Леви – Хинчина);

19) теория надежности и теория систем массового обслуживания (в том числе, сети Джексона, компьютерные и транспотрные сети (вопросы их надежности к возможным отказам));

20) сложные пуассоновские процессы и процессы восстановления, центральная предельная теорема со случайным числом слагаемых (в форме А.А. Натана) и их приложения к анализу микроэкономики (в частности, к анализу коммерческой деятельности банков);

21) ветвящиеся процессы и их приложения (задача о вырождении известных фамилий);

22) элементы спектральной теории случайных процессов (задачи о колебательных контурах со случайным источником ЭДС);

22) гильбертово пространство случайных величин (имеющих второй момент), геометрическая конструкция условного математического ожидания (оператор условного математическго ожидания понимается, как оператор проектирования в соответствующим гильбертовом пространстве), оптимальные оценки параметров по выборке, геометрическая интерпретация теоремы Рао – Блекуэлла – Колмогорова, оптимальная фильтрация (в случае нормального (гауссовского) шума);

23) робастные (устойчивые к выбросам) оценки параметров по выборке (подход П. Хьюбера, сведение задачи построения робастной оценки к задаче вариационного исчисления);

24) методы анализа экспериментальных данных (особое внимание уделяется методу наибольшего правдоподобия);

25) понятия асимптотически (по объему выборки) “хороших” оценок, способы их получения;

26) статистики первого и второго рода (их асимптотические свойства), предельные теоремы для случайных процессов (различные типы сходимостей, сходимость к броуновскому мосту);

26) построение доверительных областей, связь задачи построения равномерно наиболее мощного критерия (Неймана - Пирсона) и построения наикратчайшего доверительного интервала;

27) наиболее мощный критерий Неймана – Пирсона, как проявление теоремы Куна – Таккера из выпуклого анализа;

28) элементы теории Вапника – Червоненкиса, машинное обучение (обучение по прецендентам);

29) сложность и случайность (по А.Н. Колмогорову).

Эти разделы представлены в пособии следуя, соответственно, работам:

  • Алон Н., Спенсер Дж. Вероятностный метод. М.: Бином, 2006.
  • http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/book.pdf
  • Сачков В.Н. Комбинатроные методы дискретной математики. М.: МЦНМО, 20 04.
  • Ландо С.К. Лекции о производящих функциях. М. : МЦНМО, 2009.
  • Леонтьев В.К. Избранные задачи комбинаторного анализа. М. : МГТУ, 2001.
  • Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. М.: Мир & Бином, 2004.
  • Колчин В.Ф. Случайные графы. М.: Физматлит, 2004.
  • Соболь И.М. Численный метод Монте – Карло. М.: Наука, 1977.
  • Кузюрин Н.Н., Фомин С.В. Эффективные алгоритмы. М.: МФТИ, 2007.
  • Итерационные методы в теории игр и программировании. Под ред. В.З. Беленького и В.А. Волконского. М. : Наука, 1974.
  • Ширяев А.Н. Основы финансовой стохастической математики, Т. 1. М.: Фазис, 2004.
  • Королев В.Ю., Бенинг В.Е., Шоргин С.Я. Математические основы теории риска. М : Физматлит, 2007.
  • Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев А.В. Позитивные линейные системы. Метод положительных операторов. М.: Наука, 1985.
  • Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. М.: Мир, 2003.
  • Ширяев А.Н. Вероятность 1, 2. М.: МЦНМО, 2007.
  • Ширяев А.Н. Задачи по теории вероятностей. М.: МЦНМО, 2006.
  • Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2003.
  • Булинский А.В. Случайные процессы. Примеры, задачи и упражнения. М. : МФТИ, 2010.
  • Гусейн-Заде С.М. Разборчивая невеста. М.: МЦНМО, Библиотека “Математическое просвещение”, Вып. 25, 2003.

http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.25.pdf

http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=46

  • Дынкин Е.Б., Юшкевич А.А. Теоремы и задачи о процессах Маркова. М.: Наука, 1967.
  • Baldi P., Frasconi P., Smyth P. Modeling the Internet and the Web: Probabilistic methods and algorithms. - Published by John Wiley & Sons, 2003.
  • Сосинский А.Б. Мыльные плёнки и случайные блуждания. М.: МЦНМО, Библиотека “Математическое просвещение”, Вып. 6, 2000.

http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.6.pdf

  • Дынкин Е.Б. Теория вероятностей и анализ // Общематематический семинар (Глобус). Вып. 4. 2009. С. 209-220.
  • Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.
  • Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. М.: Наука, 1980 .
  • Кац М. Вероятность и смежные вопросы в физике. М.: Мир, 1965.
  • http://mech.math.msu.su/~malyshev/Malyshev/Lectures/course.pdf
  • http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=233
  • Якымив А. Л. Вероятностные приложения тауберовых теорем. М.: Наука, 2005.
  • Ledoux M. Concentration of measure phenomenon, Providence, RI, Amer. Math. Soc., 2001 (Math. Surveys Monogr. V. 89) .
  • Сантало Л. Интегральная геометрия и геометрические вероятности. М.: Наука, 1983.
  • Вильсон А.Дж. Энтропийные методы моделирования сложных систем. М.: Наука, 1978.
  • Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М.: Мир, 1986.
  • Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: УРСС, 2009.
  • Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: УРСС, 2005.
  • Ивницкий В. А. Теория сетей массового обслуживания. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
  • Вишневский В.М. Теоретические основы проектирования компьютерных сетей. М.: Техносфера, 2003.
  • Натан А.А. Стохастические модели в микроэкономике. М.: МФТИ, 1999.
  • Натан А.А. Стохастический модельный анализ простых коммерческих операций. М.: MЗПресс, 2005.
  • http://www.mi.ras.ru/noc/lectures/
  • Розанов Ю.А. Случайные процессы. Краткий курс. М.: Наука, 1979.
  • Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных процессов. М. : Физматлит, 2007.
  • Крянев А.В., Лукин Г.В. Математические методы обработки неопределенных данных. М. : Физматлит, 2006.
  • Косарев Е.Л. Методы обработки экспериментальных данных. М. : Физматлит, 2008.
  • Боровков А.А. Математическая статистика. М.: Физматлит, 2007.
  • Лагутин М.Б. Наглядная математическая статистика. М.: Бином, 2007.
  • Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: УРСС, 2003.
  • Vapnik V.N. Statistical learning theory. Wiley, 1998.
  • Успенский В.А. Четыре алгоритмических лица случайности. М.: МЦНМО, 2009.

Следует заметить, что по замыслу авторов предлагаемое учебное пособие отчасти также будет выполнять роль своеобразного мостика, связывающего (стохастическими нитями) различные (обязательные) курсы, которые читаются на кафедре МОУ ФУПМ МФТИ (и на некоторых других кафедрах МФТИ): дискретный анализ, алгоритмы и модели вычислений, оптимизация и оптимальное управление, функциональный анализ, ТФКП, вычислительная математика, уравнения в частных производных, математическое моделирование экономических систем, дифферецниально-геометрические методы, сетевые технологии, динамическое программирование, теория игр, экспериментальная экономика, динамические системы, теоретическая физика. Не говоря уже о специальных курсах (например, по анализу данных) и таких курсах, как стохастические дифферецниальные уравнения, актуарная математика и эффективные алгоритмы. В качестве простого примера, подтверждающего сказанное, можно привести понятие “смешанной стратегии” в теории игр, которое будет возникать в ряде задач пособия.

Несколько задач и примеров (а также способов преподнесения материала) было заимствовано из следующих книг (ставших уже классическими):

  • Прохоров А.В., Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г. Задачи по теории вероятностей. Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы. М. : Наука, 1986.
  • Стоянов Й. Контрпримеры в теории вероятностей. М.: Факториал, 1999.
  • Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. Москва – Ижевск, РХД, 2002.
  • Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М. : УРСС, 2007.
  • Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения Т. 1, 2. М.: УРСС, 2010.
  • Карлин С. Основы теории случайных процессов. М. : Мир, 1971.

Ряд задач и примеров заимствован из Колмогоровских студентческих олимпиад по теории вероятностей: http://mech.math.msu.su/probab/

Несмотря на широкий спектр упомянутых в учебном пособии тем, основной акцент делается на формирование у читателей (путем разбора большого количества задач (пришедших из самых разных приложений), имеющих много общих черт) геометрической интуиции, которая позволит единообразно понимать многообразие асимптотических результатов стохастической науки, как проявление одного общего принципа “концентрации меры” (см. п. 14). Речь идет о том, что если жизнь стохастической системы разворачивается в вероятностном пространстве большой размерности, причем система характеризуется некоторой “хорошей” функцией (или даже функциями), определенной на этом вероятностном пространстве, и, кроме того, вероятностная мера также более менее хорошая, то вероятность того, что эта функция примет значение едва ли заметно отличающиеся от медианы (математического ожидания) этой функции ничтожно мала. Угадать (прочувствовать) такого рода явления в различных задачах - как правило, намного более простая задача, чем это строго доказать. Первоочередной целью учебного пособия является формирования у читателей соответствующей интуиции. Наряду с этим, много внимание также уделяется различным приемам доказательства обнаруженных предельных (асимптотических) результатов. Прежде всего, речь идет об аппарате производящих функций (см. п. 2).

 

При работе над пособием осенью 2010 года было решено организовать учебно-методический кафедральный семинар “Стохастический анализ в задачах”. На этом семинаре обсуждаются важные вопросы, как правило, не входящие в обязательную программу цикла Стохастических дисциплин. Настоящий сайт имеет своей целью привлечь к работе этого семинара не только сотрудников кафедры, но и заинтересованных студентов.

Контактный почтовый ящик: gasnikov@list.ru

Родственные сайты: http://mou.mipt.ru/http://www.machinelearning.ru/http://zoneos.com/traffic/http://mech.math.msu.su/probab/

Дополнительные материалы: http://dame.mipt.ru/studyandscience/stohanaliz-files/

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика