Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

Математический кружок "Современные приложения функционального анализа и дискретной математики"

Страница семинара в весеннем семестре:  http://dame.mipt.ru/studyandscience/a_5g3xhb.html

 

Кафедра математических основ управления приглашает

студентов всех факультетов на курс по выбору

Математический кружок “Современные приложения функционального анализа и дискретной математики”

Для сдачи годового курса (тем кто не писал контрольную работу) нужно сдать три темы (на выбор). Материалы и задачи к прочитанным темам можно найти на этой странице. По прочитанным темам "О равновесиях макросистем" и "Функциональный анализ и уравнения в частных производных" задачи не предложены - чтобы сдать эти темы нужно решить соответствующие этим темам задачи из итоговой контрольной работы, представленной на этой странице. Для тем "Теорема Стокса" и "Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных" задачи были объединены (как следствие решения задач по этой теме засчитывается сразу за несколько тем, в зависимости от количества решенных задач). По вопросам сдачи (например, когда будут сдачи?) пишите на почтовый ящик gasnikov@list.ru Гасникову Александру.

Курс будет засчитываться как годовой курс по выбору

Итоговая контрольная работа

Цель математического кружка - познакомить и научить студентов (на интересных примерах, имеющих прикладное значение) пользоваться важными математическими конструкциями, не вошедшими в стандартные курсы МФТИ. Выбранные фундаментальные вопросы и темы, на взгляд авторов курса, входят в “джентльменский набор” современного специалиста в области прикладной математики. Изучение предложенных тем в сочетании с основными институтскими и факультетскими курсами необходимо для формирования современного целостного представления о математике и её возможных приложениях. Кружок будет также полезен и аспирантам для подготовки к сдаче кандидатского минимума.

1.       Теорема Стокса. Дифференциальные формы. Теорема Фробениуса. Формула Гаусса-Бонне. Кривизна Гаусса, Риччи // Михаил Исаев, Александр Гасников, 6 лекций

Краткий план занятий (сентябрь, 2011)

1) Определение многообразия, задачи на представление стандартных многообразий в виде атласов и карт.

2) Пространство внешних форм.

3) Дифференцирования внешних форм.

4) Интегрирование внешних форм.

5) Многообразия с краем. Теорема Стокса.

6) Задачи на теорему Стокса. Вывод из теоремы Стокса формулы Грина, Остраградского-Гаусса.

7) Формула Гаусса-Бонне (связь со средним значение случайной проекции выпуклого тела)

8) Теорема Фробениуса и её приложения в термодинамике и экономике.

9) Концентрация меры (связь с кривизной Риччи). Теорема М. Громова.

  • Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. М. Мир, 1973.
  • Скопенков А. Основы дифференциальной геометрии в интересных задачах. М.: МЦНМО, 2008

http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0801/0801.1568v3.pdf

  • Ledoux M. Concentration of measure phenomenon. Providence, RI, Amer. Math. Soc., 2001 (Math. Surveys Monogr. V. 89).
  • Зорич В.А. Математический анализ задач естествознания. М.: МЦНМО, 2008.
  • Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического моделирования экономики. М.: ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ, 1996.
  • Опойцев В.И. Нелинейная системостатика. М.: Наука, 1986.

2.       Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Алгебра Ли. Понижение порядка. Автомодельные решения. Лианеризация (уравнения Кортевега – де Фриза, Бюргерса). Явные решения уравнений в частных производных. Частичные симметрии. Метод дифференциальных связей // Александр Гасников, Сергей Городецкий, 4 лекции

Задачи и материалы к теме

  • Баренблатт Г.И. Автомодельные явления – анализ размерностей и скейлинг. Долгопрудный: Издательский дом «Интеллект», 2009.
  • Ибрагимов Н.Х. Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделирования. Нижний Новгород: Издательство Нижегородского университета, 2007.
  • Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989.
  • Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1984. 272 с.
  • Galaktionov V. A., Svirshchevskii S.A. Exact Solutions and Invariant Subspaces of Nonlinear Partial Differential Equations in Mechanics and Physics. Chapman & Hall/CRC applied mathematics and nonlinear science series; 10. 2007.

3.       Теория бифуркаций. Теория катастроф. Бифуркационные диаграммы. Бифуркация Пуанкаре-Андронова-Хопфа. Диффузионная неустойчивости (по Тьюрингу) и связанная с ней бифуркациия рождения пространственных (т.е. диссипативных) структур для пары уравнений типа реакция - диффузия (для кривой 2D-области результаты имеют принципиальное отличие от навязываемых 1D синергетиками) // Валерий Николаевич Разжевайкин, 6 лекций (в следующем семестре)

  • Брёнер Т., Ландер Л., Дифференцируемые ростки и катастрофы, пер. с англ., М., 1977.
  • Разжевайкин В.Н. Анализ моделей динамики популяций. М.: МФТИ, 2010.

4.       Эволюционная теория игр. Процедура нащупывания по Курно. Равновесие Нэша – как устойчивое положение равновесия динамики нащупывания наилучших ответов // Сергей Городецкий, Александр Гасников, 2 лекции

Задачи и материалы к теме

  • Cressman R. Evolutionary game theory and extensive form games. Cambridge, Mass.: MIT Press, 2003.
  • Hofbauer J., Sigmund K. Evolutionary game dynamics // Bulletin of the AMS. 2003. V. 40. № 4. P. 479–519.

5.       Асимптотический анализ. Схема Тихонова решения некорректных задач (на примере решения задач оптимизации). Основы КАМ теории (маятник Капицы(-Арнольда), шар Челомея, отображение Чирикова) // Валерий Николаевич Разжевайкин, Александр Гасников, 4 лекции (в следующем семестре)

  • Тихонов А.Н., Арсеньев В.Я. Методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1974.
  • Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости. М.: РХД, 2001.

6.       Обратные задачи. Томография. Схема Лакса. Преобразование Радона и его обращение. Связь с теорией обобщенных функций, теорией представлений // Михаил Исаев, 4 лекции (в следующем семестре)

7.       Функциональный анализ и уравнения в частных производных. Метод исчезающей вязкости. Обобщенные решения. Определение С.Н. Кружкова. Компенсированная компактность. Связь решений краевых задач для эллиптических уравнений со случайными блужданиями. Представления решения задачи Коши математическими ожиданиями функционалов от случайных процессов. Пространства Соболева. Теоремы вложения // Всеволод Жанович Сакбаев, 4 лекции

  • Эванс Л. К. Уравнения с частными производными. Новосибирск: Рожковская (Университетская серия; Т. 7), 2003.
  • Dafermos C. M. Hyperbolic conservation laws in continuum physics. Springer, 2010.
  • Эванс Л. К. Методы слабой сходимости для нелинейных уравнений с частными производными. Новосибирск: Тамара Рожковская (Белая серия в математике и физике; Т. 2), 2006.
  • Богачев В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ. М.-Ижевск: РХД, 2009.
  • Богачев В.И. Основы теории меры. Т. 1, 2. М.: УРСС, 2006.

8.       Полиномиальные алгоритмы выпуклой оптимизации. Сложность задач оптимизации. Полиномиальные алгоритмы Нестерова-Немировского. Самосогласованные барьеры. Стохастический антиградиентный спуск для задач огромной размерности // Павел Двуреченский, Александр Орлов, Александр Гасников, 4 лекции

  • Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.
  • Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: УРСС, 2011.
  • Нестеров Ю.Е. Введение в выпуклую оптимизацию. М.: МЦНМО, 2010.
  • http://www2.isye.gatech.edu/~nemirovs/

9.       О равновесиях макросистем. Эргодическая теорема для марковских процессов (каплинг, принцип сжимающих отображений, конусные методы). Явление концентрации меры (некоторые результаты А. Пуанкаре, П. Леви, В.Д. Мильмана). Теорема Громова-Леви, связь с кривизной Риччи. Оценка скорости сходимости к равновесию (оценка спектральной щели). Модель “Кинетика социального неравенства”, модель “хищник-жертва”, модели миграции и др. // Александр Гасников, Тигран Нагапетян, Александр Колесников 6 занятий, 4 лекции

Задачи и материалы к теме

  • Введение в математическое моделирование транспортных потоков: учеб. пособие / Гасников А.В., Кленов С.Л., Нурминский Е.А., Холодов Я.А., Шамрай Н.Б; Приложения: Бланк М.Л., Гасникова Е.В., Замятин А.А., Малышев В.А., Колесников А.В., Райгородский А.М; Под ред. А.В. Гасникова - М.: МФТИ, 2010. - 361 с.  http://zoneos.com/traffic/

10.   Производящие функции. Метод коэффициентов Егорычева. Лемма Бернсайда. Теория Пойа. Подход Дж.-К. Рота (перечислительная комбинаторика) – обобщение метода “включения и исключения”. Теорема Лагранжа (уравнение на грамматики) // Ренат Гимадеев, Лена Ежова, Евгений Молчанов, 6 лекций

Материалы к теме

Задачи к теме

 

  • Сачков В.Н. Комбинаторные методы дискретной математики. М.: МЦНМО, 2004.
  • Ландо С.К. Лекции о производящих функциях. М.: МЦНМО, 2009.
  • Леонтьев В.К. Избранные задачи комбинаторного анализа. М.: МГТУ, 2001.
  • Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. М.: Мир & Бином, 2004.

11.   Аналитическая (асимптотическая) комбинаторика. Использование аппарата производящих функций и метода перевала (Лапласа, стационарной фазы) для оценки асимптотических значений чисел, имеющих комбинаторную (вероятностную) природу // Лена Ежова, Михаил Исаев, Александр Гасников, 2 лекции

  • Flajolet P. , Sedgewick R. Analytic combinatorics. Cambridge University Press, 2008.

http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/book.pdf

12.   Теорема Гёделя о неполноте и 10 проблема Гильберта. Диофантовы уравнения. Первая и вторая теоремы Гёделя. Теорема Райса. Парадокс Банаха-Тарского. Равносильность диофантовости и перечислимости множества. Следствия. // Евгений Молчанов, Александр Гасников, 6 лекций

  • Успенский В.А. Теорема Гёделя о неполноте и четыре дороги, ведущие к ней // Математическое просвещение. № 15. 2011. С. 35-75.

http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=122

  • Матиясевич Ю.В. Десятая проблема Гильберта, Наука, М.: 1993.

http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=391

http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=447

http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=3624

Новые возможные темы на следующий семестр/

Эллиптические функции и криптография, теория чисел и криптография, неразрешимость уравнений пятой степени и выше (результаты Абеля, Галуа, Гаусса), вероятностные алгоритмы.

Вопросы, замечания, пожелания по работе семинара можно направлять на почтовый ящик gasnikov@list.ru.

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика