Курс будет прочитан Р.Г. Новиковым (Ecole Polytechnique) 3, 6, 10, 13, 17, 20 сентября. Начало лекций 17-00, место проведения: 119ГК.
Томография известна прежде всего как область исследований связанная с задачей определения структуры обьекта по его рентгеновским снимкам. В настоящий момент в дополнение к этой классической томографии достаточно хорошо известны также несколько других томографий, где вместо рентгеновских снимков используются некоторые другие спектральные данные. При этом, различные томографические задачи тесно связаны с обратными задачами рассеяния. Эти задачи возникают, в частности,в медицинской диагностике, техническом контроле и различных областях физики. Методы интегральной геометрии и комплексного анализа входят в число наиболее эффективных математических методов используемых в задачах томографии и обратного рассеяния.
Целью этого курса является введение в эту область исследований. При этом, следующие темы будут, в частности, рассмотрены:
1. Рентгеновская томография и классическое преобразование Радона.
Описание рентгеновских снимков в терминах преобразования Радона вдоль прямых. Формулы обращения Радона и Кормака. Моменнтые условия Гельфанда-Граева и уравнение Джона.
2. Обобщенные преобразования Радона и однофотонная эмиссионная томография:
Описание эмиссионных данных в терминах преобразования Радона с поглощением вдоль ориентированных прямых. Весовые преобразования Радона и приближенная формула обращения Чанга. Точная формула обращения для классического преобразования Радона с поглощением.
3. Обратная задача рассеяния для многомерного уравнения Шредингера:
Формулы и уравнения прямой задачи рассеяния. Явные линейные приближенные формулы для решения обратной задачи рассеяния. Точные методы восстановления потенциала по данным рассеяния. Приложения к теории солитонов.
4. Электрическая томография и обратная задача Гельфанда-Кальдерона:
Соотношение между напряжениями и токами на границе как Дирихле-Нейман оператор. Метод восстановления через сведение к обратной задаче по данным "рассеяния" Фаддеева.
Литература
1. Гельфанд И.М., Гиндикин С.Г., Граев М.И.. Интегральная геометрия в афинном и проективном пространстве. Итоги науки и техн. Сер. Соврем. Пробл. Мат., 1980, т.16, с. 53-226
2. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. М.: Мир 1990
3. Novikov R.G. An inversion formula for the attenuated X-ray transformation. Arkiv for Matematik, 2002, v.40, p. 145-167
4. Новиков Р.Г. Весовые преобразования Радона, для которых приближенная формула обращения Чанга является точной. Успехи математических наук 2011, т.66, N2, с.237-238
5. Новиков Р.Г. Введение в обратную задачу рассеяния для уравнения Шредингера, Лекции 2012
6. Новиков Р.Г. Многомерная обратная спектральная задача для уравнения -\Delta\psi+(v(x)-Eu(x))\psi=0. Функц. анализ и его прил. 1988, т.22, N4, c.11-22
