В ближайшую субботу 3 ноября в рамках курса Стохастический анализ в задачах от Премолаб МФТИ в НМУ ожидается выступление проф. Виктора Валентиновича Веденяпина с 12.00 до 15.30 в ауд. 303. Будет рассказано много интересных вещей! Вход в НМУ свободный

Н-ТЕОРЕМА ДЛЯ ОБОБЩЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ХИМИЧЕСКОЙ КИНЕТИКИ 

И УРАВНЕНИЯ ЛИУВИЛЛЯ

 Веденяпин В.В.

Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва

  vicveden@yahoo.com

Для уравнений химической кинетики рассматриваются условия выполнения Н-теоремы Больцмана [1,2]. Эта классическая теорема не только обосновывает 2-й закон термодинамики для описываемых систем, но и дает информацию о поведении решений. Доказательство Н -теоремы делает поведение решений уравнений понятным, так как позволяет узнать, куда они сходится при времени, стремящемся к бесконечности. Это можно сделать без решения уравнений, найдя экстремаль Больцмана - аргумент минимума  Н -функции (убывающего на решениях функционала) при условии, что значения линейных законов сохранения фиксированы.  Н -теорема обеспечивает устойчивость полученных решений. Рассматриваются условия детального баланса и динамического равновесия. Последнее также называют условием Штюккельберга-Батищевой-Пирогова. В этих случаях  Н -теорема доказана [3,4].

Мы доказываем Н -теорему для обобщений уравнений химической кинетики, которые включают в себя такие важные физические примеры, как дискретные модели квантовых кинетических уравнений (уравнений Улинга-Уленбека) и квантовый марковский процесс (квантовое случайное блуждание).

В работах А. Пуанкаре [5], В.В. Козлова и Д.В. Трещева [6] рассматривается новая форма  -теоремы. Она справедлива для уравнения Лиувилля и его обобщений. Понятие экстремали Больцмана там тоже работает: мы доказываем, что временные средние (средние по Чезаро) совпадают с экстремалями по Больцману [7]. И это делает понятие экстремали Больцмана общематематическим и фундаментальным и как метод поиска стационаров широкого класса уравнений как линейных типа уравнения Лиувилля, так и нелинейных, и как широкое обобщение понятия энтропии.

Мы рассмотрели вариационный принцип Больцмана для уравнения Лиувилля с дискретным временем для круговой модели М. Каца [8,9] и получили точные формулы для размерности пространства линейных инвариантов в этой модели. Это хороший и важный инвариант для любой динамической системы: размерность пространства линейных законов сохранения для соответствующего уравнения Лиувилля.

Литература:

[1] Boltzmann L. Weitere Studien uber das Warmegleichgewicht unter Gasmolekulen. Wien:  Akad. Sitzungsder, 1872. Bd. 66. S. 275-370. Перевод: Больцман Л. Избранные труды. М., 1984. Дальнейшие исследования теплового равновесия между молекулами газа. С. 125-189.

[2] Boltzmann  L . Uber die Bezeihung zwischen dem zwiten Hauptsarze der Mechanischen Warmetheory und der Wahrscheinlichkeitsrechnung, respective den Satzen uber das Warmegleichgewicht. - Wien .  Akad. Sitzungsber. ,1878 , Bd.  76, S. 373-435. Перевод : Л. Больцман. О связи между вторым началом механической теории теплоты и теорией вероятностей в теоремах о тепловом равновесии. Избранные труды. М.:1984.стр. 190-235.

[3] Батищева Я.Г., Веденяпин В.В. II-й закон термодинамики для химической кинетики // Матем. моделирование. 2005. 17:8. с. 106-110.

[4] Малышев В.А., Пирогов С.А. Обратимость и необратимость в стохастической химической кинетике // УМН. 2008. Т. 63. № 1. с. 3-36.

[5] Пуанкаре А. Замечания о кинетической теории газов. // Пуанкаре А. Избранные труды. Т. 3. М., 1974.

[6] Козлов В.В., Трещев Д.В. Слабая сходимость решений уравнения Лиувилля для нелинейных гамильтоновых систем // ТМФ,   134 :3 (2003), 388-400.

[7] Веденяпин В.В. Временные средние и экстремали Больцмана. Доклады РАН, 2008, т. 422, 2, стр.161-163.

[8] Кац М. Несколько вероятностных задач физики и математики. М.: Наука, 1967.

[9] Аджиев С.З., Веденяпин В.В. Временные средние и экстремали Больцмана для марковских цепей, дискретного уравнения Лиувилля и круговой модели Марка Каца // ЖВМ и МФ. 2011. Т. 51. № 11. с. 2063-2074.