Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Экзаменационные билеты по предмету

"Аналитическая геометрия и линейная алгебра"

2002/2003 уч. год. Весенний семестр. 1 курс.

Умножение матриц, его свойства. Обратная матрица. Элементарные преобразования матрицы. Преобразование матрицы методом Гаусса. Детерминант произведения матриц. Оценка ранга произведения матриц. Условие совместности системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Теорема Фредгольма. Общее решение системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Линейное пространство. Базис и размерность. Теоремы о базисе. Координаты вектора, их единственность в заданном базисе. Запись операций над векторами через координаты. Изменение координат вектора при замене базиса. Матрица перехода. Подпространство в линейном пространстве. Сумма и пересечение подпространств. Теорема о размерности суммы подпространств. Прямая сумма подпространств, ее свойства. Линейные отображения. Координатная запись линейного отображения. Матрица линейного отображения и ее изменение при замене базисов. Условия инъективности и сюръективности линейного отображения. Теорема об изоморфизме линейных пространств. Инвариантное подпространство. Задача о собственных векторах. Инвариантность характеристического многочлена. Линейная независимость собственных векторов, принадлежащих попарно различным собственным значениям. Связь между кратностью корня характеристического многочлена и размерностью его собственного подпространства. Условия существования базиса, в котором матрица линейного преобразования диагональная. Линейные функции на линейном пространстве. Сопряженное (двойственное) пространство. Билинейные функции. Координатная запись билинейной функции. Матрица билинейной функции и ее изменение при замене базиса. Евклидово пространство. Выражение скалярного произведения через координаты. Свойства матрицы Грама. Ортогональный базис. Ортогональное дополнение подпространства. Ортогональное проектирование. Процесс ортогонализации. Преобразование, сопряженное данному. Его существование и единственность. Свойства сопряженного преобразования. Ортогональные преобразования. Свойства самосопряженных преобразований. Существование ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного линейного преобразования. Существование базиса, в котором квадратичная форма имеет канонический вид (метод Лагранжа). Отыскание ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет диагональный вид. Одновременное приведение пары квадратичных форм к диагональному виду. Положительно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра. Закон инерции квадратичных форм. Разложение линейного преобразования евклидова пространства в произведение ортогонального и самосопряженного преобразований.

 

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

2002/03 уч. год. Весенний семестр. I курс (программа)

Умножение матриц, его свойства. Обратная матрица. Элементарные преобразования матрицы. Преобразование матрицы методом Гаусса. Детерминант произведения матриц. Оценка ранга Произведения Матриц. (Кроме потоков Беклемишева Д.В, Петровой В.Т. и Умнова А.Е.) Условие совместности системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Общее решение системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Теорема Фредгольма. Линейное пространство. Базис и размерность. Координаты вектора, их единственность в заданном базисе. Запись операций над векторами через координаты. Изменение координат вектора при замене базиса. Матрица перехода. Подпространство в линейном пространстве. Сумма и пересечение подпространств. Теорема о размерности суммы подпространств. Прямая сумма подпространств, ее свойства. Линейные отображения. Координатная запись линейного отображения. Матрица линейного отображения и ее изменение при замене базисов. Условия инъективности и сюръективности линейного отображения. Теорема об изоморфизме линейных пространств. Инвариантное подпространство. Задача о собственных векторах. Инвариантность характеристического многочлена. Линейная независимость собственных векторов, принадлежащих попарно различным собственным значениям. Связь между кратностью корня характеристического многочлена и размерностью его собственного подпространства. Условия существования базиса, в котором матрица линейного преобразования диагональная. (Для потока Беклемишева Д.В.) Приведение матрицы преобразования к треугольному виду. Линейные функции на линейном пространстве. Сопряженное (двойственное) пространство. Билинейные функции. Координатная запись билинейной функции. Матрица билинейной функции и ее изменение при замене базиса. Симметричные билинейные функции. Квадратичные формы. Существование базиса, в котором квадратичная форма имеет канонический вид (метод Лагранжа). Положительно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра. Закон инерции квадратичных форм. Евклидово пространство. Выражение скалярного произведения через координаты. Свойства матрицы Грама. Процесс ортогонализации. Ортогональное дополнение подпространства. Ортогональное проектирование. (Кроме потока Беклеишева Д.В.) Существование ортонормированного базиса в евклидовом пространстве. Преобразование, сопряженное данному. Его существование и единственность. Свойства сопряженного преобразования. Свойства самосопряженных преобразований. Существование ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного линейного преобразования. Ортогональные преобразования. Разложение линейного преобразования евклидова пространства в произведение ортогонального и самосопряженного преобразований. Отыскание ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет диагональный вид. Одновременное приведение пары квадратичных форм, одна из которых знакоопределенная. к диагональному виду. Унитарные пространства. Эрмитовы формы. Унитарные и самосопряженные преобразования.

Желающие распечатать могут скачать файл doc/zip

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика