Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

Дифференциальные уравнения

ПРОГРАММА

по курсу: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ по направлению: 511600 факультет: для всех факультетов (кроме ФАЛТ, ФПФЭ) кафедра: высшей математики курс: II семестр: 3,4                                       зачет: 3 семестр лекции: 66 часов                              экзамен: 4 семестр семинарские занятия: I с: 34, II с: 32 часа самостоятельная работа: I с: 2 часа в неделю всего часов: 132

Программу составили:

А.А. Абрамов, д.ф.-м.н., профессор, А.Н. Егоров, д.т.н., профессор В.Н. Диесперов, д.ф.-м.н., профессор, В.К. Романко, д.ф.-м.н., профессор

Программа обсуждена на заседании кафедры высшей математики 7 мая 2002 г.

Заведующий кафедрой: Г.Н. Яковлев


1. Основные понятия, простейшие типы дифференциальных уравнений

Основные понятия. Простейшие типы уравнений первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Метод введения параметра.

Методы понижения порядка дифференциальных уравнений.

2. Линейные дифференциальные уравнения и линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Формула общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка. Отыскание решения линейного неоднородного уравнения в случае, когда правая часть уравнения является квазимногочленом. Исследование решений краевых задач для линейного уравнения второго порядка, в частности, при наличии малого параметра при старшей производной.

Формула общего решения линейной однородной системы уравнений в случае простых собственных значений матрицы коэффициентов системы. Теорема о приведении матрицы линейного преобразования к жордановой форме (без доказательства). Формула общего решения линейной однородной системы уравнений в случае кратных собственных значений матрицы коэффициентов системы. Отыскание решения линейной неоднородной системы уравнений в случае, когда свободные члены уравнений являются квазимногочленами.

Матричная экспонента и её использование для получения формулы общего решения и решения задачи Коши для линейных однородных и неоднородных систем уравнений. Преобразование Лапласа и его применение для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

3. Элементы вариационного исчисления

Основные понятия. Простейшая задача вариационного исчисления. Задача со свободными концами. Задача для функционалов, зависящих от нескольких неизвестных функций и задача для функционалов, содержащих производные высших порядков. Изопериметрическая задача. Задача Лагранжа.

4. Задача Коши

Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальных систем дифференциальных уравнений. Характер зависимости решения задачи Коши от параметров и начальных данных: непрерывность, дифференцируемость (без доказательства). Задача Коши для уравнений первого порядка, не разрешённых относительно производной. Особые решения.

5. Автономные системы дифференциальных уравнений

Основные понятия и свойства фазовых траекторий. Классификация положений равновесия линейных автономных систем уравнений второго порядка. Характер поведения фазовых траекторий в окрестности положения равновесия двумерных автономных нелинейных систем уравнений.

6. Первые интегралы и линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка

Первые интегралы систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема о числе независимых первых интегралов.

Формула общего решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка. Постановка задачи Коши для таких уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

7. Линейные дифференциальные уравнения и линейные системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами

Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальных линейных систем уравнений.

Фундаментальная система и фундаментальная матрица решений линейной однородной системы уравнений. Структура общего решения линейной однородной и неоднородной системы уравнений. Определитель Вронского. Формула Лиувилля-Остроградского. Метод вариации постоянных или формула Коши для линейной неоднородной системы уравнений. Следствия для линейных уравнений n-го порядка. Теорема Штурма. Уравнение Бесселя и некоторые свойства его решений.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - 7-е изд. - М.: Изд-во МГУ, 1984. Понтрягип Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - 5-е изд. - М.: Наука, 1985. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. - 7-е изд. - М.: ГИФМЛ, 1958. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - 2-е изд. - М.: Наука, 1985. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. - М.: Физматгиз, 1961. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. - М.: Физматгиз, 1985. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, 1979, 1985, 1992. Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. - М.: Лаборатория базовых знаний, 2000.
Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика