Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

Математический анализ

 

ПРОГРАММА

  • по курсу: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
  • по направлению: 010900 «Прикладные математика и физика»
  • факультеты: для всех факультетов
  • кафедра: высшей математики
  • курс: I
  • семестр: I
  • Трудоемкость: базовая часть - 6 зач.ед., вариативная часть - 2 зач. ед., в т.ч. по выбору студента - 2 зач. ед.
  • экзамен: 1 семестр
  • лекции:   68 часов
  • семинарские  занятия: 68 часов
  • самостоятельная работа: 4 часа в неделю
  • всего часов: 136

Скачать версию с программой и заданиями (PDF, 183 Кб)

ПРОГРАММА (базовый уровень)

Введение в математический анализ

1.  Теорема о существовании и единственности точной верхней (нижней) грани числового множества, ограниченного сверху (снизу) — без доказательства. Представление действительных чисел бесконечными десятичными дробями. Счетность множества рациональных чисел,  несчетность множества действительных чисел.

2.  Предел числовой последовательности. Теорема Кантора о вложенных отрезках. Единственность предела. Бесконечно малые последовательности и их свойства. Свойства пределов, связанные с неравенствами. Арифметические операции со сходящимися последовательностями. Теорема Вейерштрасса о пределе монотоннойограниченной последовательности. Число e. Бесконечно большие последовательности и их свойства.

3.  Подпоследовательности, частичные пределы. Теорема Больцано-Вейерштрасса.    Критерий Коши сходимости последовательности.

4.  Предел числовой функции одной переменной. Определения по Гейне и по Коши, их эквивалентность. Свойства пределов функции. Различные типы пределов. Существование односторонних пределов у монотонной функции.

5.  Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций. Односторонняя непрерывность. Непрерывность сложной функции. Точки разрыва, их классификация.

6.  Свойства функций, непрерывных на отрезке — ограниченность, достижение точных верхней и нижней граней.   Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции. Теорема об обратной функции.

7.  Непрерывность элементарных функций. Определение показательной функции. Замечательные пределы, следствия из них.

8.  Сравнение величин (символы o, O, ~). Вычисление пределов при помощи выделения главной части в числителе и знаменателе дроби.

9.  Производная функции одной переменной. Односторонние производные. Непрерывность функции, имеющей производную. Дифференцируемость функции в точке, дифференциал. Геометрический смысл производной и дифференциала.  Производная суммы, произведения и частного двух функций. Производная сложной функции.   Производная обратной функции.   Производные элементарных функций. Инвариантность формы дифференциала относительно замены переменной.

10.  Производные высших порядков. Формула Лейбница для n-й производной произведения. Дифференциал второго порядка.

11.  Теорема Ферма (необходимое условие локального экстремума). Теоремы о среднем Ролля, Лагранжа, Коши. Формула Тейлора с остаточным членом в формах Пеано и Лагранжа. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида 00.

12.  Применение производной  к  исследованию  функций. Достаточные   условия   монотонности,    достаточные условия локального экстремума в терминах первой и второй производной. Выпуклость, точки перегиба. Построение графиков функций — асимптоты, исследование интервалов монотонности и точек локального экстремума, интервалов выпуклости и точек перегиба.

13.  Первообразная и неопределенный интеграл. Линейность неопределенного интеграла, интегрирование подстановкой и по частям. Интегрирование рациональных функций. Основные приемы интегрирования иррациональных и трансцендентных функций. 14. Элементы дифференциальной геометрии. Кривые на плоскости и в пространстве. Гладкие кривые, касательная к гладкой кривой. Длина кривой. Производная переменной длины дуги (без доказательства). Натуральный параметр. Кривизна кривой, формулы для ее вычисления.

ПРОГРАММА (повышенный уровень)


Введение в математический анализ

1.  Действительные числа. Отношения неравенства между действительными числами. Свойство Архимеда. Плотность множества действительных чисел. Теорема о существовании и единственности точной верхней   (нижней) грани  числового  множества, ограниченного сверху (снизу). Арифметические операции с действительными числами. Представление действительных чисел бесконечными десятичными дробями. Счетность множества рациональных чисел,  несчетность множества действительных чисел.

2.  Предел числовой последовательности. Теорема Кантора о вложенных отрезках. Единственность предела. Бесконечно малые последовательности и их свойства. Свойства пределов, связанные с неравенствами. Арифметические операции со сходящимися последовательностями. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной ограниченной последовательности. Число e. Бесконечно большие последовательности и их свойства.

3.  Подпоследовательности, частичные пределы. Верхний и нижний пределы числовой последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Критерий Коши сходимости последовательности.

4.  Предел числовой функции одной переменной. Определения по Гейне и по Коши, их эквивалентность. Свойства пределов функции. Различные типы пределов. Критерий Коши существования конечного предела функции. Теорема о замене переменной под знаком предела. Существование односторонних пределов у монотонной функции.

5.  Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций. Односторонняя непрерывность. Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции.   Непрерывность сложной функции. Точки разрыва,  их классификация. Разрывы монотонных функций.

6.  Свойства функций, непрерывных на отрезке — ограниченность, достижение  точных верхней и нижней граней. Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции. Теорема об обратной функции.

7.  Непрерывность элементарных функций. Определение показательной функции. Свойства показательной функции. Замечательные пределы, следствия из них.

8.  Сравнение величин (символы o, O, ~). Вычисление пределов при помощи выделения главной части в числителе и знаменателе дроби.

9.  Производная функции одной переменной. Односторонние производные. Непрерывность функции, имеющей производную. Дифференцируемость функции в точке, дифференциал. Геометрический смысл производной и дифференциала. Производная суммы, произведения и частного двух функций.   Производная сложной функции.   Производная обратной функции.   Производные элементарных функций. Инвариантность формы дифференциала относительно замены переменной.

10.  Производные высших порядков.    Формула Лейбница для n-й производной произведения.     Дифференциал второго порядка.     Отсутствие  инвариантности  его формы относительно замены переменной.  Дифференциалы высших порядков.

11.  Теорема Ферма (необходимое условие локального экстремума).     Теоремы о среднем  Ролля,   Лагранжа, Коши. Формула Тейлора с остаточным членом в формах Пеано и Лагранжа.   Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида 0/0. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида ?/?.

12.  Применение производной к исследованию функций. Достаточные условия монотонности, достаточные условия локального экстремума в терминах первой и второй производной. Выпуклость, точки перегиба. Достаточные условия локального экстремума в терминах высших производных. Построение графиков функций — асимптоты, исследование интервалов монотонности и точек локального экстремума, интервалов выпуклости и точек перегиба.

13.  Первообразная и неопределенный интеграл. Линейность неопределенного интеграла, интегрирование подстановкой и по частям. Интегрирование рациональных функций. Основные приемы интегрирования иррациональных и трансцендентных функций.

14.  Элементы дифференциальной геометрии. Кривые на плоскости и в пространстве. Гладкие кривые, касательная к гладкой кривой. Теорема Лагранжа для вектор-функций. Длина кривой. Производная переменной длины дуги.   Натуральный параметр. Кривизна кривой, формулы для ее вычисления. Сопровождающий трехгранник пространственной кривой.

15.  Комплексные числа.  Модуль и аргумент, тригонометрическая форма.   Арифметические операции с ком-
6плексными числами. Извлечение корня. Экспонента и логарифм от комплексного числа. Формула Эйлера. Информация об основной теореме алгебры. Разложение многочлена с комплексными коэффициентами на линейные множители. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и неприводимые квадратичные множители. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей.

Литература

Основная

1.  Бесов О.В. Лекции по математическому анализу. Ч. 1. -М.: МФТИ, 2004.
2.  Иванов  Г.Е. Лекции по математическому  анализу. Т. 1. - М.: МФТИ, 2004.
3.  Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Т. 1. - М.: Наука, 1998, 2002.
4.  Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. - М.: Наука, 1988; М.: МФТИ, 1997; М.: Физматлит, 2003.

Дополнительная

5.  Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. 1.-М.: Наука, 1983, 2000.
6.  Яковлев Г.Н. Лекции по математическому анализу. Ч. 1. - М.: Физматлит, 2001, 2004.
7.  Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1. -М.: Высшая школа, 1988.
8.  Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - 6-е изд. - М.: Наука, 1966.
9.  Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по  математическому анализу. —  2-е изд.   —  М.: Высш. шк., 2000.



Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика