Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

Теория функция комплексного переменного (ТФКП)

ПРОГРАММА

по курсу: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО по направлению: 511600 факультеты: ФМБФ, ФФКЭ кафедра: высшей математики курс: III семестр: 5 экзамен: 5 семестр лекции: 51 час семинарские занятия: 34 часа самостоятельная работа: 3 часа в неделю всего часов: 85

Программу составил: В.В. Власов, д.ф.-м.н, профессор

Программа обсуждена на заседании кафедры высшей математики 7 мая 2002 г.

Заведующий кафедрой: Г.Н. Яковлев

 

1. Комплексные числа. Расширенная комплексная плоскость. Понятие функции комплексного переменного. Последовательности и ряды.

2. Дифференцирование функций по комплексному переменному. Условия Коши-Римана. Понятие регулярности функции в точке и в области. Сопряженные гармонические функции. Теорема о существовании гармонической функции, сопряжённой с гармонической в односвязной области.

3. Степенная, показательная и тригонометрические функции. Понятие о регулярной ветви многозначной функции. Функции корень(z,n) и ln z и их главные регулярные ветви.

4. Интеграл от функции комплексного переменного по контуру. Теорема Коши для дифференцируемых функций (случаи односвязных и неодносвязных областей). Интегральная формула Коши (интеграл Коши). Интеграл типа Коши, его регулярность.

5. Степенные ряды, первая теорема Абеля, радиус и круг сходимости. Равномерно сходящиеся последовательности и ряды регулярных функций. Первая и вторая теоремы Вейерштрасса.

6. Разложение в ряд Тейлора. Единственность разложения. Теорема единственности для регулярных функций.

7. Ряд Лорана и его кольцо сходимости. Разложение в ряд Лорана, единственность разложения. Неравенство Коши для коэффициентов ряда Лорана. Теорема Лиувилля для целых функций.

8. Классификация изолированных особых точек однозначного характера по структуре главной части лорановского разложения. Теорема Сохоцкого и теорема Пикара (последняя – без доказательства).

9. Существование первообразной регулярной функции в односвязной области. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема Мореры. Лемма о стирании разреза.

10. Теорема Коши о вычетах. Вычисление интегралов с помощью вычетов. Лемма Жордана.

11. Приращение аргумента непрерывной функции вдоль контура. Регулярные ветви многозначных функций ln f(z) и корень(f(z),n).

12. Принцип аргумента. Теорема Руше. Основная теорема алгебры.

13. Понятие об аналитическом продолжении (непосредственном, вдоль цепочки областей, вдоль пути). Понятие об аналитической функции и римановой поверхности. Теорема о монодромии (без доказательства).

14. Точки ветвления. Теорема Коши-Адамара о наличии особой точки на границе круга сходимости.

15. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.

16. Теоремы об обратных функциях. Однолистность и многолистность в малом. Принцип максимума модуля для регулярных функций.

17. Конформные отображения в расширенной комплексной плоскости. Дробно-линейные отображения.

18. Теорема Римана о конформной эквивалентности односвязных областей и принцип соответствия границ (без доказательства). Общий вид конформного отображения полуплоскости на круг.

19. Функция Жуковского, её свойства и определяемые ею конформные отображения. Конформные отображения, определяемые экспонентой и степенной функцией.

20. Принцип симметрии Римана-Шварца.

21. Мероморфные функции. Разложение мероморфной функции в сумму элементарных дробей. Разложение функции ctg z.

22. Гармонические функции двух переменных. Теорема о среднем. Принцип максимума и минимума. Задача Дирихле. Интеграл Пуассона. Единственность решения. Существование решения.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1973. 1987. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1982: 1989. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. 4.1.2. – М.: Наука, 1985. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. – 10-е изд., и последующие. – М.: Наука. Фукс Б.А., Шабат Б.В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. – 3-е изд. – М.: Наука, 1964. Половинкин Е.С. Лекции по теории функций комплексного переменного. – М.: МФТИ, 1999.
Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика