Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

Программа к экзамену по мат. анализу

Экзаменационная программа по математическому анализу для студентов 1-го курса (2 семестр) (Поток Г.Н. Яковлева)

I. Функции многих переменных

Числовые функции двух, трех и большего числа переменных. Частные производные. Функции точки и отображения. Евклидовы n-мерные пространства точек и векторов. Пределы последовательностей точек. Предел функции в точке и на бесконечности. Повторные пределы. Открытые и замкнутые множества и их свойства. Граница множества. Связные множества. Компакты. Критерий компактности в R n. Непрерывные функции и отображения. Свойства функций и отображений, непрерывных в точке, на компакте, на связном множестве. Равномерно непрерывные функции. Модуль непрерывности. Теорема о равномерной непрерывности функции, непрерывной на компакте. Равномерно непрерывные отображения. Дифференцируемые функции. Полный дифференциал. Достаточное ус­ловие дифференцируемости функции в точке. Касательная плоскость к поверхности и геометрический смысл полного дифференциала. Дифференцирование сложной функции. Производная по направлению и градиент функции. Производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о независимости смешанной производной от порядка дифференцирования. Формула Тейлора для функций многих переменных. Мера Жордана множеств точек на плоскости и в пространстве. Теоремы об измеримости объединения, пересечения и разности измеримых множеств. Критерий измеримости ограниченного множества. Примеры измеримых и неизмеримых по Жордану множеств.

II. Определенный интеграл

Интегральные суммы и интеграл Римана. Теорема об ограниченности интегрируемой функции. Критерий интегрируемости функции. Необходимое и достаточное условие измеримости по Жордану криволинейной трапеции. Интеграл Римана и последовательности разбиений, мелкость которых стремиться к нулю. Свойства интегрируемых функций: связь интегрируемости функции на промежутке и его частях, интегрируемость модуля, суммы, разности и произведения интегрируемых функции. Классы интегрируемых функций: непрерывные и кусочно-непрерывные функции, монотонные и кусочно-монотонные функции. Свойства определенного интеграла: линейность, аддитивность относительно промежутков интегрирования, монотонность. Теорема о среднем. Интегрируемость сложной функции и теорема о замене переменной в определенном интеграле. Интегралы по ориентированным промежуткам и их свойства. Интегралы с переменным верхним пределом. Непрерывность и дифференцируемость интеграла как функции верхнего предела. Условие Липшица. Существование первообразной у непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница. Формула интегрирования по частям. Теорема о замене переменной интегрирования в случае непрерывной функции. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме. Несобственные интегралы, определения и основные свойства: линейность, монотонность, замена переменной интегрирования, формула Ньютона-Лейбница, интегрирование по частям. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Признаки сравнения. Абсолютно и условно сходящиеся интегралы. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Признаки Дирихле и Абеля сходимости несобственных интегралов. Приложения определенного интеграла: площадь криволинейной трапеции, объем тела вращения и площадь его боковой поверхности, длина дуги кривой и работа силы вдоль пути. Криволинейные интегралы первого и второго рода: определения основные свойства и формулы. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Условия существования локального потенциала (условия интегрируемости) заданного векторного поля. Интегралы по гомотопным кривым и достаточные условия существования потенциала у векторного поля в односвязной области.

III. Ряды

Последовательности и ряды с комплексными членами. Необходимое условие сходимости ряда. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами признак сравнения, признаки Даламбера и Коши. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Абсолютно сходящиеся ряды и их свойства: теорема о перестановка членов и теорема об умножении абсолютно сходящихся рядов. Признаки Дирихле и Абеля сходимости числовых рядов. Сходящиеся и равномерно сходящиеся функциональные последовательности и ряды, критерий Коши. Необходимое условие равномерной сходимости ряда. Теорема о непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда с непрерывными членами. Теорема о предельном переходе под знаком интеграла. Почленное интегрирование функциональных рядов. Теорема о производной предела последовательности дифференцируемых функций. Почленное дифференцирование функциональных рядов. Признаки Вейерштрасса и Дирихле равномерной сходимости функциональных рядов. Теорема Абеля о сходимости степенного ряда. Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда. Формула Коши-Адамара для радиуса сходимости. Равномерная сходимость степенных рядов. Сохранение радиуса сходимости при дифференцировании и при интегрировании. Аналитические функции. Достаточное условие разложимости функции в степенной рад. Разложение функции ex, sinx и cosx в степенные ряды. Разложение функций ln(1+х), arctgx и (1+x) a в степенные ряды. Функции ez, sinz, cosz комплексного z. Формула Эйлера.
Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика