Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

Математический анализ

ПРОГРАММА

по курсу: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ по направлению: 511600 факультеты: все факультеты кафедра: высшей математики курс: I семестр: 2 экзамен: 2 семестр лекции:  64 часа семинарские занятия: 64 часа                                                  самостоятельная работа: 4 часа в неделю всего часов: 128

Программу составили:

О.В. Бесов, чл.-корр. РАН, профессор Л.Д. Кудрявцев, чл.-корр. РАН, профессор М.И. Шабунин, д.п.н., профессор Г.Е. Иванов, к.ф.-м.н., доцент

Программа обсуждена на заседании кафедры высшей математики 7 декабря 2001 г.

Заведующий кафедрой:  Г.Н. Яковлев

 

1. Функции многих переменных

1. Многомерные евклидовы пространства. Расстояние между точками и его свойства. Окрестность точки. Предел последовательности точек. Связь сходимости последовательности точек со сходимостью последовательностей их координат. Теорема Кольцами Вейерштрасса. Предельная точка множества, Замкнутые множества. Открытые; множества. Область. Граница множества.

2. Предел функции многих переменных. Дна определения предела функции (с помощью последовательностей и с помощью окрестностей). Предел но данному направлению. Повторный предел.

3. Непрерывность функции многих переменных. Непрерывность сложной функции. Ограниченность и достижимость верхней (нижней) грани значении функции, непрерывной на ограниченном замкнутом множестве. Теорема о промежуточном значении непрерывной функции.

4. Равномерная непрерывность функции на множестве. Теорема Кантора о равномерной непрерывности.

5. Частные производные. Дифференцируемость, функции многих переменных. Достаточное условие дифференцируемости. Дифференцируемость, сложной функции. Первый дифференциал и инвариантность его формы. Геометрический смысл частных производных и первого дифференциала. Производная по направлению. Градиент функции.

6. Частные производные высших порядков. Теорема о порядке дифференцирования. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функций многих переменных.

7. Неявные функции. Теорема о существовании, единственности, непрерывности и дифференцируемости неявной функции, определяемой одним уравнением. Теорема о неявных функциях для систем уравнений.

 

2. Интегральное исчисление функций одного переменного

8. Определённый интеграл Римана. Ограниченность интегрируемой функции. Критерий интегрируемости функции. Интегрируемость непрерывной и кусочно непрерывной функций. Интегрируемость монотонной функции. Аддитивность интеграла относительно отрезков интегрирования. Интеграл от суммы функций и от произведения функции на постоянную. Интегрируемость произведения интегрируемых функций. Интегрируемость модуля интегрируемой функции. Интегрирование неравенств. Теорема о среднем.

9. Определённый интеграл как функция верхнего предела. Непрерывность интеграла по верхнему пределу. Существование первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница. Формула замены переменного и интегрирование по частям для определённого интеграла.

10. Геометрические и физические приложения определённого интеграла. Площадь криволинейной трапеции, объём тела вращения, длина дуги, площадь поверхности вращения.

11. Криволинейные интегралы. Определение криволинейных интегралов двух типов. Сведение криволинейного интеграла к интегралу по отрезку. Существование криволинейных интегралов.

12. Несобственные интегралы. Определение несобственного интеграла для неограниченной функции и в случае бесконечных пределов интегрирования. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Сходящиеся абсолютно и сходящиеся интегралы. Признаки Дирихле и Абеля.

3. Ряды

13. Числовые ряды. Частичные суммы и остаток ряда. Стремление общего члена сходящегося ряда, к нулю. Свойства сходящихся рядов (сложение рядов, умножение на постоянную). Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами. Достаточные условия сходимости рядов с неотрицательными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, признак Коши, интегральный признак сходимости ряда. Абсолютно сходящиеся ряды и их свойства: сложение рядов, умножение на постоянную, независимость суммы от порядка слагаемых, умножение двух абсолютно сходящихся рядов. Признак Лейбница для знакочередующихся рядок. Условно сходящиеся ряды. Теорема Римана о перестановке членов в условно сходящемся ряде. Признаки Дирихле и Абеля.

14. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, критерий Коши, признак Вейерштрасса. Признаки Дирихле и Абеля равномерной сходимости рядов. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда. Почленное интегрирование и дифференцирование функционального ряда.

15. Степенные ряды. Круг сходимости степенного ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование степенного ряда. Разложение функций в степенной ряд (ряд Тейлора). Единственность разложения. Аналитические функции. Пример функции, не равной сумме своего ряда Тейлора. Запись остаточного члена формулы Тейлора в интегральной форме. Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа и Коши. Разложение в степенные ряды элементарных функций. Формулы Эйлера.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная

Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. - М.: Наука, 1989. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т.1, - М.: Наука, 1990. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. - М.: Наука, 1988; М.: МФТИ, 1997. Иванов Г.Е. Лекции по математическому анализу. Т.1, - М.: изд-во МФТИ, 2000. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1,2, -М.: Высшая школа, 1988.

Дополнительная

Яковлев Г.Н. Лекции по математическому анализу. Ч.2, - М.: Физматлит, 2001. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - 6-е изд. -М.: Наука, 1966. Зорин В.А. Математический анализ. Т.1, - М.: Наука, 1981.
Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика