Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

ПРОГРАММА

по курсу: Аналитическая геометрия и линейная алгебра по направлению: 511600 факультет: для всех факультетов (кроме ФПФЭ) кафедра: высшей математики курс: I семестр: 2                                           экзамен: 1 семестр лекции: 32 часа семинарские занятия: 32 часа  самостоятельная работа: 2 часа в неделю всего часов: 64

Программу составили:

Д.В. Беклемишев, д.п.н., профессор В.А. Растренин, к.ф.-м.н., доцент В.И. Чехлов, к.ф.-м.н., доцент А.Е. Умнов, д.ф.-м.н., профессор

Программа обсуждена на заседании кафедры высшей математики 7 декабря 2001 г.

Заведующий кафедрой: Г.Н. Яковлев


1. Элементарные преобразования матриц, элементарные матрицы. Приведение; матрицы к простейшему виду. (Поток В.И. Чехлова).

2. Определитель произведения двух матриц, обратная матрица. (Поток В.И. Чехлова).

3. Системы линейных уравнений. Теорема Кронеккера-Капелли. Теорема Фредгольма. Фундаментальная система решений и общее решение однородной системы линейных уравнений. Общее решение неоднородной системы. Метод Гаусса.

4. Линейное пространство. Базис, размерность. Теорема об изоморфизме. Компоненты вектора в базисе, запись операций над векторами через компоненты. Изменение компонент вектора при изменении базиса. Матрица перехода.

Подпространства в линейном пространстве. Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма.

5. Линейные отображения и линейные преобразования линейного пространства. Их матрицы. Операции над линейными преобразованиями, обратное линейное преобразование. Изменение матрицы линейного преобразования (отображения) при изменении базиса.

6. Собственные векторы и собственные значения линейных преобразований. Инвариантные подпространства. Нахождение собственных векторов и собственных значений линейного преобразования. Характеристическое уравнение. Приведение матрицы линейного преобразования к треугольному виду (поток Д.В, Беклемишева).

Линейная независимость собственных векторов, принадлежащих различным собственным значениям. Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному виду (достаточные условия). Собственные пространства.

7. Линейные формы. Сопряжённое (двойственное) пространство. Биортогональный базис. Сопряжённые преобразования, их свойства. Теорема Фредгольма. (потоки В.И. Чехлова, Д.В. Беклемишева).

8. Билинейные и квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм. Положительно определённые квадратичные формы, критерий Сильвестра.

9. Евклидово пространство. Унитарные пространства (поток Чехлова В.И.). Скалярное произведение. Матрица Грама. Ортогональный нормированный базис, процесс ортогонализации. Ортогональное дополнение подпространства.

Переход от одного ортонормированного базиса к другому. Ортогональные матрицы.

10. Преобразования евклидова пространства. Сопряжённые преобразования, их свойства. Ортогональные преобразовании.

11. Самосопряжённые преобразования, свойства их собственных векторов и собственных значений. Существование ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряжённого преобразования. Полярное разложение линейного преобразования в евклидовом пространстве.

12. Отыскание ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет диагональный вид. Одновременное приведение к диагональному виду пары квадратичных форм, одна из которых положительно определена.

13. Унитарное пространство. Унитарные эрмитовы (самосопряжённые) преобразования.

14. Понятие о тензорах. Примеры. Основные тензорные операции.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - 6-е изд., перераб. - М.: Наука, 1988. Умное А.Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. - Долгопрудный: ЗАО Оптимизационные системы и технологии, 1997. Кострикин А.И. Введение в алгебру. -М.: Наука, 1975. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. - 4-е изд. -М.: Наука, 1976. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр 2. -М.: Наука, 1979. Чехлов В. И. Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре. - М.: МФТИ, 2000.
Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика