Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

Математический анализ

 ПРОГРАММА

по курсу: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ по направлению: 511600 факультеты: для всех факультетов кафедра: высшей математики курс: I семестр: I                                                       экзамен: 1 семестр лекции:   68 часов семинарские  занятия: 68 часов                  самостоятельная работа: 4 часа в неделю всего часов: 136

Программу составили:

О.В. Бесов, д.ф., – м.н., чл.– корр., РАН Г.Е. Иванов, к.ф. – м.н., доцент Л.Д. Кудрявцев, д.ф. – м.н., чл.– корр. РАН, М.И. Шабунин, д.п.н., профессор

Программа обсуждена на заседании кафедры высшей математики 10 мая 2001 г.

Заведующий кафедрой                                Г.Н. Яковлев


 

1. «Действительные числа и их свойства» Рациональные и нерациональные числа. Счетность множества рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел.

2. Числовые множества. Верхняя и нижняя грани множества. Существование и единственность точной верхней (нижней) грани множества, ограниченного сверху (снизу).

3. Предел последовательности. Единственность предела. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Свойства пределов последовательностей, связанные с неравенствами и с арифметическими операциями над последовательностями. Существование предела у монотонной ограниченной последовательности. Число e. Подпоследовательности. Частичный предел. Верхний и нижний пределы. Теорема Больцано-Вейерштрасса, «Критерий Коши»

4. Понятие функции. Способы задания функции. Элементарные функции,, Два определения предела функции: при помощи последовательностей и при помощи окрестностей, их эквивалентность. Различные типы пределов. Свойства пределов функций, связанные с арифметическими действиями над функциями. Теорема о существовании односторонних пределов у монотонной функции.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции Сравнение порядков. Эквивалентные бесконечно малые (бесконечно большие). Асимптотические равенства.

5. Непрерывность функции в точке. Непрерывность суммы, разности, произведения и частного непрерывных функций. Непрерывность сложной функции. Непрерывность справа и слева. Разрывы первого и второго рода.

6. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, достижимость верхней и нижней грани. Теорема о промежуточных значениях. Существование и непрерывность функции, обратной к строго монотонной непрерывной функции (случаи функции, заданной на отрезке, интервале, полуинтервале).

7. Непрерывность элементарных функций: показательной, логарифмической, степенной, тригонометрических, обратных тригонометрических. Гиперболические функции.

8. Пределы:

,   ,   

9. Производная функции в точке. Геометрический и физический смысл производной. Непрерывность функции, имеющей производную. Касательная к графику функции. Свойства производной, связанные с арифметическими действиями над функциями. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные элементарных функций. Производные функций, заданных параметрически.

10. Дифференциал и его свойства. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Геометрический смысл дифференциала.

11. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Формула Лейбница.

12. Теоремы о средних значениях для дифференцируемых функций: теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши.

13. Формула Тейлора. Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа и в форме Пеано. Единственность представления функции в виде суммы многочлена и остаточного члена в форме Пеано. Формула Тейлора для функций

e^x, sin x, cos x, sinh x, cosh x, ln(1+x), (1+x)^a.

Раскрытие неопределенностей с помощью формулы Тейлора. Метод выделения главной части.

14. Исследование функции с помощью производных. Признак монотонности функции на интервале. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. Выпуклость вверх и вниз графика функции. Точки перегиба. Асимптоты.

15. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя (случаи 0/0 и бесконечность/бесконечность).

16. Вектор-функция и ее производная. Геометрическая и физическая интерпретации.

17. Кривые. Длина дуги. Дифференциал длины дуги. Касательная к кривой. Нормальная плоскость. Кривизна и центр кривизны кривой. Главная нормаль пространственной кривой. Соприкасающаяся плоскость. Понятие об эволюте и эвольвенте.

18. Первообразная функции и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Интегрирование подстановкой и по частям.

19. Разложение многочлена на множители. Разложение правильной рациональной дроби на элементарные. Интегрирование рациональных дробей.

20. Интегрирование иррациональных функций. Интегрирование трансцендентных функций.

Примечание: с 1 по 8 пункты программы являются программой коллоквиума.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная

1. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. T.1 – М.: Наука, 1998.

2. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т.1. – М.: Наука, 1983.

3. Тер-Крикоров A.M.. Шибунин М.И. Курс математического анализа. – М.: Наука, 1988; М.: МФТИ, 1997.

4. Яковлев Г.Н. Лекции по математическому анализу. 4.1. – М.: Физматлит, 2001.

Дополнительная

5. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1. М.: Высшая школа, 1988.

6. Фихтенголъц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – 6-е изд. – М.: Наука, 1966.

7. Зорин В.А. Математический анализ. Т.1. – М.: Наука, 1981.

8. Сборник задач по математическому анализу. Предел, непрерывность, дифференцируемость: Учебное пособие/ Под ред. Л.Д. Кудрявцева. – М.: Наука. 1984.

9. Сборник задач по математическому анализу. Интегралы. Ряды: Учебное пособие/ Под ред. Л.Д. Кудрявцева. – М.: Наука. 1986.

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика