Теоретическая механика

ПРОГРАММА

• по курсу: ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
• по направлению: 010600 «Прикладные математика и физика»
• факультет: для всех факультетов
• кафедра: теоретической механики
• курс: II
• семестр: 3
• лекции: 34 часа
• Экзамен 3 семестр
• практические (семинарские) занятия: 34 часа
• Зачет - нет
• лабораторные занятия - нет
• Самостоятельная работа: 2 часа в неделю
• ВСЕГО ЧАСОВ: 68

Скачать версию с программой и заданиями (PDF, 237 Кб)

1. Аксиоматика классической механики

Постулаты классической механики. Законы Ньютона. Инерциальные системы отсчета. Преобразования Галилея. Понятие об инвариантности и ковариантности уравнений ме­ханики.

2. Кинематика точки

Траектория, скорость, ускорение. Естественный (сопровож­дающий) трехгранник. Разложение скорости и ускорения в осях трехгранника. Криволинейные координаты точки. Разло­жение скорости и ускорения точки в локальном базисе криво­линейных координат. Коэффициенты Ламе.

3. Кинематика твердого тела (кинематика систем отсчета)

Твердое тело. Разложение движения тела на поступательное движение и вращение (движение с неподвижной точкой). Спо­собы задания ориентации твердого тела: утлы Эйлера, матри­цы направляющих косинусов. Теорема Эйлера о конечном по­вороте твердого тела с неподвижной точкой.

Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела. Рас­пределение скоростей и ускорений в твердом теле (формулы Эйлера и Ривальса). Кинематический винт твердого тела.

Кинематика сложного движения. Сложение скоростей и ус­корений точек в сложном движении. Вычисление угловой ско­рости и углового ускорения тела в сложном движении. Кинема­тические уравнения движения твердого тела в углах Эйлера и матрицах направляющих косинусов. Прецессионное движение твердого тела.

4. Основные теоремы динамики

Определения: внешние и внутренние силы, импульс (коли­чество движения), момент импульса (кинетический момент, момент количества движения), кинетическая энергия, центр масс, момент силы, элементарная работа и мощность силы. Теоремы Кенига для кинетической энергии и момента им-пульса. Теоремы об изменении импульса, момента импульса и кинетической энергии в инерциальных системах отсчета.

Потенциальные, гироскопические, диссипативные силы. Критерий потенциальности сил. Консервативные системы, закон сохранения энергии.

Неинерциальные системы отсчета, силы инерции. Основ­ные теоремы динамики в неинерциальных системах отсчета.

5. Движение материальной точки в центральном поле

Законы сохранения. Уравнение Бине. Поле всемирного тяго­тения. Уравнение конических сечений. Задача двух тел. Законы Кеплера.

6. Динамика твердого тела

Геометрия масс. Тензор инерции и эллипсоид инерции твердого тела. Главные оси инерции. Преобразование тензора инерции при повороте и параллельном переносе осей. Теорема Гюйгенса-Штейнера для тензора инерции. Кинетический мо­мент и кинетическая энергия твердого тела.

Динамические уравнения Эйлера. Случай Эйлера; первые интегралы движения; геометрические интерпретации Пуансо. Движение динамически симметричного тела в случае Эйлера; параметры свободной регулярной прецессии. Случай Ла-гранжа; первые интегралы движения. Формула для момента, поддерживающего вынужденную регулярную прецессию дина­мически симметричного твердого тела.

7. Лагранжева механика

Понятие механической связи. Классификация связей. Виртуальные перемещения. Общее уравнение динамики для системы материальных точек с идеальными связями. Конфи­гурационное многообразие голономной системы с конечным числом степеней свободы. Обобщенные координаты. Урав­нения Лагранжа. Обобщенные силы. Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил; функция Лагранжа (лагранжиан системы). Уравнения Лагранжа в неинерциальных системах отсчета.

Свойства уравнений Лагранжа: ковариантность, невырож­денность (приведение к нормальному виду Коши). Структура кинетической энергии. Первые интегралы лагранжевых сис­тем: циклические интегралы, обобщенный интеграл энергии (интеграл Пенлеве-Якоби).

Дополнительные темы к программе повышенного уровня

1. Кватернионы

Алгебра кватернионов. Кватернионный способ задания ориентации твердого тела (присоединенное отображение). Параметры Родрига-Гамильтона. Кватернионные формулы сложения поворотов. Кинематические уравнения вращатель­ного движения твердого тела в кватернионах (уравнения Пу­ассона). Интегрирование уравнений Пуассона для прецесси­онного движения твердого тела.

2. Динамика систем переменного состава

Понятие о системе переменного состава и ее математиче­ской модели. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента для систем переменного состава. Уравнение Мещерского. Реактивное движение. Формула Ци­олковского

3. Теория удара

Понятие ударных сил и ударного импульса, основные ги­потезы, задачи теории удара. Коэффициент восстановления (гипотеза Ньютона). Удар материальной точки об абсолютно гладкую поверхность: нахождение угла отражения, после­ударной скорости, ударного импульса; потеря кинетической энергии. Теоремы об изменении количества движения и ки­нетического момента при ударе. Общее уравнение динамики в теории удара. Теорема Карно. Уравнения Лагранжа второго рода в теории удара.

4. Статика твердого тела

Необходимые и достаточные условия равновесия твердого тела - равенство нулю главного вектора и главного момента сил. Критерий эквивалентности двух систем сил, приложен­ных к твердому телу. Сила, приложенная к твердому телу, -скользящий вектор. Теорема о трех силах. Плоская система сил. Равнодействующая. Теорема Вариньона. Система схо­дящихся сил. Равнодействующая параллельных сил. Теория пар сил. Общий случай приведения сил, приложенных к твердому телу. Теорема Пуансо. Статические инварианты. Динамический винт. Приведение произвольной системы сил к простейшей форме.

Литература

1. Айзерман М.А. Классическая механика. - М.: Наука, 1980,2005.

2. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. 3-е изд. - М.: Физматлит, 2001.

3. Журавлёв В. Ф. Основы теоретической механики. 2-е изд. - М.: Физматлит, 2001, 3-е изд. - М.: Физматлит, 2008.

4. Маркеев А.П. Теоретическая механика. - М.: Наука, 1990.

5. Яковепко Г.Н. Краткий курс теоретической механики. - М: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006.

6. Амелькин Н.И. Динамика твердого тела учеб. посо­бие. - М: МФТИ, 20 J0.

7. Трухан Н.М. Теоретическая механика. Методика ре­шения задач: учеб. пособие. - М.: МФТИ, 2010.