ПРОГРАММА
- по курсу: ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
- по направлению: 010600 «Прикладные математика и физика»
- факультет: для всех факультетов
- кафедра: теоретической механики
- курс: II
- семестр: 3
- лекции: 34 часа
- Экзамен 3 семестр
- практические (семинарские) занятия: 34 часа
- Зачет - нет
- лабораторные занятия - нет
- Самостоятельная работа: 2 часа в неделю
- ВСЕГО ЧАСОВ: 68
Скачать версию с программой и заданиями (PDF, 237 Кб)
1. Аксиоматика классической механики
Постулаты классической механики. Законы Ньютона. Инерциальные системы отсчета. Преобразования Галилея. Понятие об инвариантности и ковариантности уравнений механики.
2. Кинематика точки
Траектория, скорость, ускорение. Естественный (сопровождающий) трехгранник. Разложение скорости и ускорения в осях трехгранника. Криволинейные координаты точки. Разложение скорости и ускорения точки в локальном базисе криволинейных координат. Коэффициенты Ламе.
3. Кинематика твердого тела (кинематика систем отсчета)
Твердое тело. Разложение движения тела на поступательное движение и вращение (движение с неподвижной точкой). Способы задания ориентации твердого тела: утлы Эйлера, матрицы направляющих косинусов. Теорема Эйлера о конечном повороте твердого тела с неподвижной точкой.
Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела. Распределение скоростей и ускорений в твердом теле (формулы Эйлера и Ривальса). Кинематический винт твердого тела.
Кинематика сложного движения. Сложение скоростей и ускорений точек в сложном движении. Вычисление угловой скорости и углового ускорения тела в сложном движении. Кинематические уравнения движения твердого тела в углах Эйлера и матрицах направляющих косинусов. Прецессионное движение твердого тела.
4. Основные теоремы динамики
Определения: внешние и внутренние силы, импульс (количество движения), момент импульса (кинетический момент, момент количества движения), кинетическая энергия, центр масс, момент силы, элементарная работа и мощность силы. Теоремы Кенига для кинетической энергии и момента им-пульса. Теоремы об изменении импульса, момента импульса и кинетической энергии в инерциальных системах отсчета.
Потенциальные, гироскопические, диссипативные силы. Критерий потенциальности сил. Консервативные системы, закон сохранения энергии.
Неинерциальные системы отсчета, силы инерции. Основные теоремы динамики в неинерциальных системах отсчета.
5. Движение материальной точки в центральном поле
Законы сохранения. Уравнение Бине. Поле всемирного тяготения. Уравнение конических сечений. Задача двух тел. Законы Кеплера.
6. Динамика твердого тела
Геометрия масс. Тензор инерции и эллипсоид инерции твердого тела. Главные оси инерции. Преобразование тензора инерции при повороте и параллельном переносе осей. Теорема Гюйгенса-Штейнера для тензора инерции. Кинетический момент и кинетическая энергия твердого тела.
Динамические уравнения Эйлера. Случай Эйлера; первые интегралы движения; геометрические интерпретации Пуансо. Движение динамически симметричного тела в случае Эйлера; параметры свободной регулярной прецессии. Случай Ла-гранжа; первые интегралы движения. Формула для момента, поддерживающего вынужденную регулярную прецессию динамически симметричного твердого тела.
7. Лагранжева механика
Понятие механической связи. Классификация связей. Виртуальные перемещения. Общее уравнение динамики для системы материальных точек с идеальными связями. Конфигурационное многообразие голономной системы с конечным числом степеней свободы. Обобщенные координаты. Уравнения Лагранжа. Обобщенные силы. Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил; функция Лагранжа (лагранжиан системы). Уравнения Лагранжа в неинерциальных системах отсчета.
Свойства уравнений Лагранжа: ковариантность, невырожденность (приведение к нормальному виду Коши). Структура кинетической энергии. Первые интегралы лагранжевых систем: циклические интегралы, обобщенный интеграл энергии (интеграл Пенлеве-Якоби).
Дополнительные темы к программе повышенного уровня
1. Кватернионы
Алгебра кватернионов. Кватернионный способ задания ориентации твердого тела (присоединенное отображение). Параметры Родрига-Гамильтона. Кватернионные формулы сложения поворотов. Кинематические уравнения вращательного движения твердого тела в кватернионах (уравнения Пуассона). Интегрирование уравнений Пуассона для прецессионного движения твердого тела.
2. Динамика систем переменного состава
Понятие о системе переменного состава и ее математической модели. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента для систем переменного состава. Уравнение Мещерского. Реактивное движение. Формула Циолковского
3. Теория удара
Понятие ударных сил и ударного импульса, основные гипотезы, задачи теории удара. Коэффициент восстановления (гипотеза Ньютона). Удар материальной точки об абсолютно гладкую поверхность: нахождение угла отражения, послеударной скорости, ударного импульса; потеря кинетической энергии. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента при ударе. Общее уравнение динамики в теории удара. Теорема Карно. Уравнения Лагранжа второго рода в теории удара.
4. Статика твердого тела
Необходимые и достаточные условия равновесия твердого тела - равенство нулю главного вектора и главного момента сил. Критерий эквивалентности двух систем сил, приложенных к твердому телу. Сила, приложенная к твердому телу, -скользящий вектор. Теорема о трех силах. Плоская система сил. Равнодействующая. Теорема Вариньона. Система сходящихся сил. Равнодействующая параллельных сил. Теория пар сил. Общий случай приведения сил, приложенных к твердому телу. Теорема Пуансо. Статические инварианты. Динамический винт. Приведение произвольной системы сил к простейшей форме.
Литература
1. Айзерман М.А. Классическая механика. - М.: Наука, 1980,2005.
2. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. 3-е изд. - М.: Физматлит, 2001.
3. Журавлёв В. Ф. Основы теоретической механики. 2-е изд. - М.: Физматлит, 2001, 3-е изд. - М.: Физматлит, 2008.
4. Маркеев А.П. Теоретическая механика. - М.: Наука, 1990.
5. Яковепко Г.Н. Краткий курс теоретической механики. - М: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006.
6. Амелькин Н.И. Динамика твердого тела учеб. пособие. - М: МФТИ, 20 J0.
7. Трухан Н.М. Теоретическая механика. Методика решения задач: учеб. пособие. - М.: МФТИ, 2010.