Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

Математический анализ

 

ПРОГРАММА

  • по курсу: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
  • по направлению:010600 «Прикладные математика и физика»
  • факультеты: для всех факультетов
  • кафедра: высшей математики
  • курс: II
  • семестр: 3
  • экзамен: 1 семестр
  • лекции: 34 часа
  • семинарские занятия: 34 часа
  • самостоятельная работа: 4 часа в неделю
  • всего часов: 68

 

Скачать версию с программой и заданиями (PDF, 163 Кб)

 

ПРОГРАММА (базовый уровень)

Экстремумы функций многих переменных: необходимое условие, достаточное условия. Условный экстремум функции многих переменных при наличии связи: исследование при помощи функции Лагранжа. Необходимые условия.

Определение измеримости по Жордану множества в n-мерном евклидовом пространстве. Критерии измеримости (без доказательства). Измеримость объединения, пересечения и разности измеримых множеств. Конечная аддитивность меры Жор дана.

Кратный интеграл Римана. Суммы Римана и суммы Дарбу. Критерии интегрируемости (без доказательства). Интегрируемость функции, непрерывной на измеримом компакте. Свойства интегрируемых функций: линейность интеграла, аддитивность интеграла по множествам, интегрирование неравенств. Сведение кратного интеграла к повторному.

Формула Грина. Потенциальные векторные поля на плоскости. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.

Теорема о замене переменных в кратном интеграле (без доказательства).

Простая гладкая поверхность. Поверхностный интеграл первого рода. Независимость выражения интеграла через параметризацию поверхности от допустимой замены параметров. Площадь поверхности. Ориентация простой гладкой поверхности. Поверхностный интеграл второго рода, выражение через параметризацию поверхности. Кусочно-гладкие поверхности, их ориентация и интегралы по ним.

Формула Гаусса-Остроградского. Дивергенция векторного поля, ее независимость от выбора прямоугольной системы координат и геометрический смысл.   Соленоидальные векторные поля. Связь соленоидальности с обращением в нуль дивергенции поля. Понятие о векторном потенциале.

Формула Стокса. Ротор векторного поля, его независимость от выбора прямоугольной системы координат и геометрический смысл. Потенциальные векторные поля. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Связь потенциальности с обращением в нуль ротора поля. Вектор «набла» и действия с ним. Основные соотношения содержащие вектор «набла».

ПРОГРАММА (повышенный уровень)

Экстремумы функций многих переменных: необходимое условие, достаточное условия. Условный экстремум функции многих переменных при наличии связи: исследование при помощи функции Лагранжа. Необходимые условия. Достаточные условия.

Определение измеримости по Жордану множества в n-мерном евклидовом пространстве. Критерии измеримости (без доказательства). Измеримость объединения, пересечения и разности измеримых множеств. Конечная аддитивность меры Жордана. Измеримость и мера цилиндра в (n + 1)-мерном пространстве.

Кратный интеграл Римана. Суммы Римана и суммы Дарбу. Критерии интегрируемости. Интегрируемость функции, непрерывной на измеримом компакте. Свойства интегрируемых функций: линейность интеграла, аддитивность интеграла по множествам, интегрирование неравенств, теоремы о среднем, непрерывность интеграла. Сведение кратного интеграла к повторному.Формула Грина. Потенциальные векторные поля на плоскости. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.

Геометрический смысл модуля и знака якобиана отображения двумерных пространств. Теорема о замене переменных в кратном интеграле (доказательство для двумерного случая).

Простая гладкая поверхность. Поверхностный интеграл первого рода. Независимость выражения интеграла через параметризацию поверхности от допустимой замены параметров. Площадь поверхности. Ориентация простой гладкой поверхности. Поверхностный интеграл второго рода, выражение через параметризацию поверхности.

Кусочно-гладкие поверхности, их ориентация и интегралы по ним.

Формула Гаусса-Остроградского. Дивергенция векторного поля, ее независимость от выбора прямоугольной системы координат и геометрический смысл. Соленоидаль-ные векторные поля. Связь соленоидальности с обращением в нуль дивергенции поля. Понятие о векторном потенциале.

Формула Стокса. Ротор векторного поля, его независимость от выбора прямоугольной системы координат и геометрический смысл. Потенциальные векторные поля. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Связь потенциальности с обращением в нуль ротора поля. Вектор «набла» и действия с ним. Основные соотношения содержащие вектор «набла». Лапласиан и градиент по вектору для скалярного и векторного поля.

Литература

Основная

1. Бесов О.В. Лекции по математическому анализу. - М.: МФТИ, 2004.2.  Иванов  Г.Е.     Лекции по математическому  анализу. Т. 2. - М.: МФТИ, 2004.
3.  Кудрявцев Л.Д.тКраткий курс математического анализа. - 3-е изд. - М.: Физматлит, 2002.
4.  Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. - М.: Наука, 1988; М.: МФТИ, 1997; М.: Физматлит, 2003.
5.  Яковлев Г.Н. Лекции по математическому анализу. Ч. 2. - М.: Физматлит, 2001, 2004.

Дополнительная

6.  Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 2. -М.: Высшая школа, 1988.
7.  Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. 1, 2. - М.: Наука, 1983.
8.  Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции  по  математическому анализу. —  2-е изд. —  М.: Высш. шк., 2000.
9.  Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Т. 2. - М.: Физматлит, 2004.
10.  Зорич В.А. Математический анализ. -М.: Наука, Ч. 1, 1981; Ч. 2, 1984.
11.  Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - 6-е изд. - М.: Наука, 1966.





Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика