Часть 1 (9 семестр)
1. Введение. Роль вычислительной аэродинамики в современных прикладных и теоретических исследованиях. Принципиальные особенности численных методов механики сплошной среда по сравнению с классическим математическим аппаратом. (2 часа)
2. Линейные многошаговые схемы и методы Рунге-Кутта для решения задач Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Варианты явных и неявных маршевых схем, понятия аппроксимации, устойчивости и сходимости. (4 часа)
3. Жесткие задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Классификация численных методов решения жестких задач по свойствам устойчивости. (4 часа)
4. Конечно-разностные и сеточно-проекционные методы аппроксимации краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Интегро-интерполяционные схемы аппроксимации уравнений с разрывными коэффициентами. Понятие консервативной аппроксимации. (4 часа)
5. Дифференциальные приближения разностных схем, понятия схемной вязкости, дисперсии. Спектральные свойства и монотонность дискретной аппроксимации, ограничения на значения сеточных чисел Рейнольдса. (4 часа)
6. Разностные схемы, применяемые для решения начально-краевых эволюционных задач для систем уравнений в частных производных. Классификация маршевых численных методов и их аналогия с методами решения задач Коши для жестких систем ОДУ. (4 часа)
7. Приемы исследования монотонности и устойчивости маршевых разностных схем. Спектральный критерий Неймана, условие Куранта-Фридрихса-Леви, теорема Лакса о сходимости. (4 часа)
8. Конечно-разностные схемы, аппроксимации краевых задач для эллиптических систем уравнений в частных производных и обобщение интегро-интерполяционного метода. Сеточный аналог принципа максимума и его связь со спектральными свойствами разностной схемы. (4 часа)
9. Общие принципы конструирования и оптимизации итерационных методов решения многомерных сеточных задач, метод установления и его аналогия с жесткой задачей Коши. Итерационные методы. Гаусса-Зейделя, последовательной верхней релаксации и переменных направлений. (4 часа)
Часть 2 (10 семестр)
10. Характеристические свойства уравнений Эйлера, условия совместности, инварианты Римана. Математическая корректность постановки задачи для стационарных уравнений и ее связь с диссипативными эффектами, примеры неединственности решения. (4 часа)
11. Задача о распаде газодинамического разрыва для линеаризованных и полных: уравнений Эйлера. Схема Годунова для расчета одномерных нестационарных течений, исследование ее монотонности и устойчивости. (4 часа)
12. Стационарный аналог схемы Годунова, вспомогательная задача о столкновении двух сверхзвуковых потоков. Обобщение на случаи решения многомерных задач. (2 часа)
13. Принципы построения консервативных разностных схем для уравнений Эйлера на основе расщепления по характеристическим направлениям. Приближенное решение задачи о распаде разрыва. Аппроксимация граничных условий. (4 часа)
14. Диапазоны физической применимости и математическая постановка задачи для асимптотических и композитных систем уравнений, описывающих вязкие течения жидкости и газа. Характеристические свойства уравнений пограничного слоя, тонкого вязкого ударного слоя, полных уравнений ударного слоя, упрощенных и полных уравнений Навье-Стокса. (6 часов)
15. Численные методы решения уравнений пограничного и тонкого вязкого ударного слоя: схемы. Келлера, Кранка-Николсона, Петухова. Метод глобальных итераций для решения полных уравнений ударного слоя. (4 часа)
16. Методы, расщепления по физическим процессам и пространственным переменным. Безитерационная схема Бима-Уорминга для решения полных и упрощенных уравнений Навье-Стокса. (4 часа)
17. Подходы к построению монотонизированных схем повышенного порядка точности для решения уравнений Эйлера и Навье-Стокса; теоремы Годунова о монотонности и схема Хартена. Классификация схем TVD на основе концепции управляемой аппроксимационной вязкости. (4 часа)
Основная литература
1. Холл Дж., Уатт Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, М., "Мир", 1979.
2. Годунов С.K., Рябенький B.C. Разностные схемы, (введение в теорию ), М., "Наука", 1977.
3. Марчук Г.И. Методы, вычислительной математики, М., "Наука", 1980.
4. Кочин Н.Е., Кибель А.И., Розе И.В. Теоретическая гидромеханика, Части I и 2. Гос. изд. физ.-мат.лит., М., 1973.
5. Годунов С.K. Уравнения математической физики, М., "Наука", 1971.
6. Годунов С.К. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М., "Наука", 1976.
7. Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск, "Наука", 1981.
8. Самарский А.А., Николаев Е.М. Методы решения сеточных уравнений. М., "Наука", 1976.
