Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Адрес e-mail:

01.01.03 Математическая физика

ПРОГРАММА-МИНИМУМ

кандидатского экзамена по специальности

01.01.03 «Математическая физика»

по физико-математическим наукам

Введение

В основу настоящей программы положены следующие математические и физические дисциплины: математика – математический и функциональный анализ, комплексный анализ, дифференциальные уравнения, алгебра и топология, геометрия, теория вероятностей; физика – механика, теория поля, механика и электродинамика сплошных сред, теория твердого тела, квантовая механика, статистическая физика.

Программа разработана экспертным советом Высшей аттестационной комиссии Министерства образования Российской Федерации по математике и механике при участии Математического института им. В.А. Стеклова и Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

1. Математические разделы

1.1. Математический и функциональный анализ

Мера и измеримые функции. Интеграл Лебега и его сравнение с интегралом Римана. Теорема Егорова. Теорема Фубини. Теоремы Лебега, Леви, Фату о предельном переходе под знаком интеграла.

Пространства Lp . Разложения по ортогональным системам фун кций в L 2. Ряды и преобразования Фурье. Теорема Планшереля.

Метрические и топологические пространства. Компактность. Непрерывные функции на компакте. Теорема Стоуна-Вейерштрасса. Связность.

Линейные топологические и банаховы пространства. Теорема Хана-Банаха. Компактные операторы.

Гильбертовы пространства. Теорема Рисса-Фишера о представлении линейных функционалов.

Линейные операторы в гильбертовом пространстве. Ограниченные операторы. Понятие о спектре оператора. Спектр компактного самосопряженного оператора. Спектральное представление линейного оператора.

Линейные операторы и их матрицы в конечномерном вещественном и комплексном пространстве. Нормальная форма матрицы линейного оператора. Канонический вид матрицы симметрического, унитарного и кососимметрического оператора.

Обобщенные функции и операции над ними. Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста. Соболевские пространства Hs. Теорема вложения Соболева.

1.2. Комплексный ан ализ

Теорема Коши. Интегральная формула Коши. Лемма Шварца и принцип максимума модуля.

Разложение голоморфных функций в ряды Тейлора и Лорана. Характеристика изолированных особых точек в терминах ряда Лорана.

Нули голоморфных функций. Теорема единственности. Принцип аргумента и теорема Руше.

Теорема Коши о вычетах. Целые функции. Теорема Лиувилля.

Принцип сохранения области и теорема Гурвица. Принцип соответствия границ. Теорема Римана.

Аналитическое продолжение. Теорема о монодромии. Точки ветвления аналитических функций. Римановы поверхности.

Принцип симметрии. Теорема Пикара.

1.3. Дифференциальные уравнения

Линейные дифференциальные уравнения и системы. Фундаментальные системы решений. Метод вариации постоянных.

Дифференциальные уравнения и системы с постоянными коэффициентами. Квазиполиномы. Общие и частные решения. Функция Грина.

Устойчивость по Ляпунову. Функция Ляпунова. Асимптотическая устойчивость.

Элементы вариационного исчисления. Лагранжиан и уравнения Эйлера—Лагранжа. Гамильтониан и уравнения Гамильтона.

Принцип максимума Понтрягина.

Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений. Теорема Гильберта—Шмидта.

Характеристики уравнений в частных производных. Задача Коши и теорема Коши—Ковалевской. Классификация уравнений в частных производных. Метод разделения переменных.

Уравнение Лапласа и эллиптические уравнения. Гармонические функции. Принцип максимума. Фундаментальное решение. Задачи на собственные значения и разложения по собственным функциям.

Уравнение теплопроводности и параболические уравнения. Фундаментальное решение. Задача Коши. Принцип максимума и теорема единственности.

Волновое уравнение и гиперболические уравнения. Фундаментальное решение. Задача Коши.

1.4. Алгебра и топол огия

Группы, алгебры и кольца. Свободные группы и соотношения.

Нетеровы кольца и модули. Теорема Гильберта о базисе.

Поля и их алгебраические расширения. Поле разложения многочлена. Основная теорема теории Галуа.

Группы и алгебры Ли. Основные типы алгебр Ли.

Линейные представления групп и их характеры. Лемма Шура. Индуцированные представления. Закон взаимности Фробениуса.

Фундаментальная группа. Односвязность. Накрытия. Лемма о накрывающей гомотопии. Универсальное накрытие.

Гомологии и когомологии симплициальных комплексов. Их гомотопическая инвариантность. Группы гомологий и фундаментальная группа компактных двумерных поверхностей, их классификация.

Локально тривиальные и векторные расслоения. Пространства путей и петель. Точная гомотопическая последовательность расслоения. Расслоение Хопфа и классификация отображений трехмерной сферы в двухмерную.

Степень отображения и индекс особой точки векторного поля. Индекс пересечения и коэффициент зацепления. Эйлерова характеристика.

1.5. Геометрия

Гладкие многообразия и их отображения. Дифференциал гладкого отображения и его якобиан. Теорема Сарда. Касательные векторы и касательное расслоение.

Примеры гладких многообразий: проективные пространства, матричные группы Ли, многообразия Грассмана и Штифеля.

Тензоры и тензорные поля. Дифференциальные формы и внешнее дифференцирование. Когомологии де Рама. Тензоры и дифференциальные формы на комплексных многообразиях.

Интегрирование дифференциальных форм. Теорема Стокса. Ее связь с формулами Грина и Гаусса—Остроградского. Двойственность Пуанкаре.

Римановы многообразия и метрики. Геодезические. Связности, их тензоры кривизны и кручения. Параллельный перенос.

Гладкие кривые, их кривизна и кручение. Формулы Френе.

Первая и вторая квадратичные формы поверхности. Теорема Менье и формула Эйлера. Главные направления и кривизны. Формула Гаусса—Бонне.

Симплектические многообразия. Теорема Дарбу. Комплексная и контактная структуры.

1.6. Теория вероятн остей

Вероятностные пространства. Случайные величины и их математические ожидания. Дисперсия. Независимые случайные величины. Условные вероятности и математические ожидания.

Нормальное распределение и распределение Пуассона. Характеристические функции. Теорема Бохнера-Хинчина. Центральная предельная теорема. Законы больших чисел.

Корреляционные функции. Цепи Маркова и марковские случайные процессы. Гауссовские процессы и процесс Пуассона.

Броуновское движение. Стохастический дифференциал и формула Ито. Стохастические дифференциальные уравнения.

Элементы математической статистики. Точечное и интервальное оценивание. Задача проверки статистических гипотез.

2. Физические разделы

2.1. Механика

Уравнения движения. Принцип наименьшего действия. Функция Лагранжа. Теорема Нетер и законы сохранения.

Одномерное движение. Движение в центральном поле.

Свободные и вынужденные колебания. Колебания при наличии трения.

Движение твердого тела. Угловая скорость, моменты инерции и количества движения. Уравнения Эйлера.

Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона. Теорема Лиувилля. Уравнение Гамильтона—Якоби.

2.2. Теория поля

Принцип относительности. Преобразования Лоренца. Интервал.

Релятивистская механика. Принцип наименьшего действия. Энергия и импульс.

Заряд в электромагнитном поле. Четырехмерный потенциал. Калибровочные преобразования. Уравнения движения заряда. Тензор электромагнитного поля.

Уравнения электромагнитного поля. Действие электромагнитного поля. Тензор энергии-импульса.

Постоянное электромагнитное поле. Закон Кулона. Электростатическая энергия заряда. Диполь. Магнитный момент. Теорема Лармора. Система зарядов в электромагнитном поле.

Электромагнитные волны. Волновое уравнение. Плоские и монохроматические волны. Спектральное разложение.

Распространение электромагнитных волн. Отражение и преломление. Принцип взаимности.

Поле движущегося заряда. Запаздывающие потенциалы и потенциалы Льенара-Вихерта. Излучение электромагнитных волн.

Поле системы зарядов на далеких расстояниях.

2.3. Механика и электродинамика сплошных сред

Уравнения движения идеальной жидкости (уравнения непрерывности, уравнение Эйлера).

Уравнения движения вязкой жидкости. Диссипация энергии в несжимаемой жидкости. Система уравнений Навье—Стокса.

Звук и звуковые волны.

Электростатика проводников.

Электростатика диэлектриков. Диэлектрическая проницаемость.

Постоянный ток. Плотность тока и проводимость.

Постоянное магнитное поле. Магнитное поле постоянного тока.

Сверхпроводники. Эффект Мейснера. Сверхпроводящий ток. Критическое поле. Куперовские пары. Уравнения Гинзбурга—Ландау.

2.4. Теория твердого т ела

Типы и симметрии кристаллов. Свойства обратной решетки. Зона Бриллюэна. Теорема Блоха.

Колебания решетки. Фононы. Фактор Дебая-Уоллера. Ангармонизм и тепловое расширение.

Зонная структура. Квазичастицы. Электронная теплоемкость.

Кинетическое уравнение. Решеточное сопротивление. Увлечение фононов. Эффект Холла.

Поверхность Ферми. Диамагнитный и циклотронный резонанс. Открытые орбиты. Квантование орбит. Эффект де Гаазаван Альфена.

2.5. Квантовая механ ика.

Основные положения квантовой механики. Принцип неопределенности и принцип суперпозиции. Квантово-механическое описание системы.

Квантование. Представление Фока. Координатное и импульсное представления.

Операторы энергии и импульса. Гамильтониан. Уравнение Гейзенберга. Соотношение неопределенности.

Уравнение Шредингера. Одномерное движение и одномерный осциллятор. Потенциальная яма. Прохождение через барьер.

Движение в центральном поле. Атом водорода. Разложение плоской волны.

Уравнение Дирака. Спин

Тождественность частиц и принцип неразличимости. Связь спина со статистикой. Бозоны и фермионы.

Атом. Состояния электронов и уровни энергии. Тонкая структура атомных уровней. Периодическая система Менделеева.

Квазиклассическое приближение. Модель Томаса—Ферми.

Движение в магнитном поле. Уравнение Шредингера в электрическом и магнитном полях. Плотность потока.

Квантовая теория рассеяния. Матрица рассеяния. Формула Бора. Резонансное рассеяние. Упругое рассеяние. Формула Брейта-Вигнера.

2.6. Статистическая физика

Основные принципы статистики. Статистическое распределение и статистическая независимость. Теория Лиувилля. Энтропия. Закон возрастания энтропии.

Термодинамические величины: температура, давление. Адиабатический процесс. Работа и количество теплоты, термодинамический потенциал. Принцип ле Шателье, теорема Нернста.

Распределение Гиббса. Свободная энергия. Термодинамические соотношения.

Термодинамика идеальных газов. Распределение Больцмана. Неравновесный идеальный газ. Свободная энергия и уравнение состояния. Закон равнораспределения. Одноатомный идеальный газ.

Распределения Бозе и Ферми.

Равновесие фаз. Формула Клапейрона—Клаузиуса. Критическая точка.

Флуктуации. Распределение Гиббса. Формула Пуассона.

Фазовые переходы второго рода.

Литература к разделу 1

Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.

Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.

Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. М.: Мир, 1977.

Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988.

Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Физматгиз, 1958.

Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Физматгиз, 1961.

Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физма тгиз, 1961.

Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: На ука, 1972.

Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М.: Го стехиздат, 1951.

Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.

Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. М.: На ука, 1973.

Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1974.

Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.

Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М.: Наука, 1972.

Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Изд-во МГУ, 1980.

Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980.

Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1969.

Литература к разделу 2

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Курс теоретической физики. М.: На ука, 1973—1986.

Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974.

Уиттекер Э. Аналитическая динамика. М.: УРСС, 1999.

Дирак П. Принципы квантовой механики. М.: Наука, 1979.

Березин Ф.А., Шубин М.А. Лекции по квантовой механике. М.: Изд-во МГУ, 1972.

Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1980.

Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1976.

Хуанг К. Статистическая механика. М.: Мир, 1966

Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие р езультаты. М.: Мир, 1971.

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

© 2001-2016 Московский физико-технический институт
(государственный университет)

Техподдержка сайта

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-li
Яндекс.Метрика