Эффекты накопления в динамических активных системах. Московский физико-технический институт (государственный университет). МФТИ (ГУ)

Т.Е. Шохина

Институт проблем управления РАН

Рассматривается модель стимулирования центром активного элемента (АЭ), в которой взаимодействие АЭ и центра происходит многократно (T раз). Каждого участника динамической активной системы (ДАС) можно описать его информированностью – на сколько периодов вперед он знает функции полезности всех участников системы (дальновидность $k(1 \leqslant k \leqslant T))$ и режимом принятия решений: принимает ли он решение в каждый период только на текущий период - текущее управление, принимает ли он решение через каждые m периодов на l периодов вперед ( $m \leqslant l \leqslant k$ , при этом раз приняв решение не имеет право его изменять) – скользящее управление, принимает ли он решение сразу же на весь период взаимодействия T - программное управление. Исходя из выше сказанного возможны четыре случая: центр недальновиден (k = 1) и использует текущий режим - (ДАС1), центр не полностью дальновиден (1 < k < T) и использует текущий режим управления (ДАС2), центр не полностью дальновиден и использует скользящий режим управления - (ДАС3), центр полностью дальновиден (k = T) - (ДАС4).

Оптимальная система стимулирования центром АЭ, вне зависимости от дальновидности и способа принятия решения АЭ, заключается в том, что центр компенсирует затраты АЭ в том и только в том случае, если в каждый момент времени АЭ не отклоняется от плана. Таким образом, основной вопрос, стоящий перед центром, это - выбор оптимального плана. Центр определяет оптимальные для него планы в зависимости от своих характеристик k,l,m. Самым общим случаем является модель ДАС3, остальные модели являются частными случаями ДАС3. Действительно ДАС1 получается из ДАС3 при k = l = m = 1, ДАС2 получается из ДАС3 при l = m = 1, ДАС4 получается из ДАС3 при k = T. Таким образом достаточно решить задачу для ДАС3 и потом исследовать как на это решение влияют параметры k,l,m.

Рассмотрим модель ДАС с накоплением, в которой имеются центр, доход которого в периоде t равен $H_t = y^t (\alpha + \beta (\sum\limits_1^{t - 1} {y^\tau } ))$ , и АЭ, затраты которого в периоде t равны $C_t = \frac{{y_t^2 }}{2}$ . Тогда в ДАС3 оптимальны планы: $\left\{ \begin{gathered} x_1 = \cdots = x_l = x_0 \hfill \\ x_{l + 1} = \cdots = x_{l + m} = x_0 b \hfill \\ \vdots \hfill \\ x_{l + (n - 1)m + 1} = \cdots = x_T x_0 b^n \hfill \\ \end{gathered} \right., где x_0 : = \frac{\alpha }{{1 - k\beta }},b: = \frac{{1 - \beta (k - l)}}{{1 - \beta (k - l + m)}},n: = \frac{{T - k}}{m}$ . Видно что решение имеет смысл только если выполняются условия $\alpha > 0,\beta < \frac{1}{k}$ , либо $\alpha < 0,\beta \in \left( {\frac{1}{k},\frac{1}{{k - l + m}}} \right) \cup \left. {\left[ {\frac{1}{{k - l}},} \right. + \infty } \right)$ . Если $\alpha > 0,\beta \geqslant \frac{1}{k}$ , то оптимальным планом в каждом периоде будет $+ \infty$ , то есть центру выгодно в первом периоде назначить как можно больший план, не считаясь с потерями по компенсации затрат АЭ в этом периоде. Если $\alpha < 0,\beta < \frac{1}{k}$ , то оптимальными в каждом периоде будут нулевые планы. Если $\alpha < 0,\beta \in \left( {\frac{1}{{k - l + m}},\frac{1}{{k - l}}} \right)$ то при четном n оптимальные планы выражаются системой неравенств, приведенной выше, а при нечетном n оптимальные планы равны нулю.