В.П.Житников, Н.М.Шерыхалина
Уфимский государственный авиационный технический университет
Рассматриваются задачи о течении идеальной несжимаемой невязкой весомой жидкости с источником, вихрем или диполем, находящимися на заданном расстоянии от дна. Для решения задач применяется метод Леви-Чивиты с выделением особенностей или построение сплайна, интерполирующего искомую функцию.
Для оценки погрешности вычислений используются способы, основанные на анализе результатов численного эксперимента, полученных при различных значениях числа узловых точек, например, экстраполяция с помощью метода наименьших квадратов.
Для проверки надежности полученной оценки проводится повторная экстраполяция. Первая экстраполяция позволяет оценить погрешность решения D1, вторая – оценить погрешность экстраполированных значений D2. Вторая оценка одновременно является оценкой погрешности оценки погрешности численного результата. Их отношение RD=D2/D1 представляет собой оценку относительной размытости оценки D1. Если RD существенно меньше 1 то оценке D1 можно доверять, в противном случае оценку следует считать ненадежной. Эти условия определяют критерий надежности оценки погрешности.
Результаты численного решения представляются в виде решетчатых функций. Значения искомых параметров между узловыми точками получаются путем интерполяции. Погрешность интерполяции оценивается методом повторного уточнения и сравнения. При приближении к предельным конфигурациям, когда какой-нибудь из характерных размеров стремится к 0 или бесконечности, прямой расчет часто дает плохой результат. Специальные методы точного расчета предельных конфигураций использованы для уточнения искомых зависимостей в "предпредельных" ситуациях. Существенное уточнение при интерполяции и экстраполяции получено путем учета асимптотических зависимостей, найденных аналитически или эмпирически.
На рисунке слева показаны результаты оценки погрешности циркуляции, (DF - погрешность, N – число узловых точек, группа точек 0 соответствует исходным результатам, цифрой 1 обозначены результаты первой экстраполяции, цифрой 2 – второй и т.д.). Для наглядности выбрана десятично-логарифмическая шкала.
В нижней части рисунка справа приведен график функции y=(1-r)lg?Fr(r)-Fr(1)? для задачи о волнах на поверхности весомой жидкости (Fr - число Фруда, r - параметр Кокелета). Оценки погрешности D экстраполяции зависимости y(r) алгебраическими многочленами степени n=0-4, построенными по точкам с r?0.825, показывают, что путем экстраполяции можно получить значения Fr, на 1-2 порядка более точные, чем вычисленные непосредственно.
