А.П. Сейранян
Институт механики МГУ им. М.В. Ломоносова
Рассматриваются линейные динамические системы со многими степенями свободы с периодическими коэффициентами, зависящие от многих параметров. Устойчивость тривиального решения в этих системах определяется с помощью теории Флоке. Дан вывод выражений для первых и вторых производных матрицы монодромии по параметрам в терминах матрицантов прямой и сопряженной задачи и производных от матрицы системы. Это позволяет получить производные простых мультипликаторов, а также их абсолютных значений по параметрам, а также использовать эти соотношения в градиентных методах для стабилизации или дестабилизации (резонанса) системы. Приведен численный пример стабилизации системы, описываемой уравнением Карсона-Камби. Затем исследуются сильные и слабые взаимодействия мультипликаторов на комплексной плоскости, и дается геометрическая интерпретация этих взаимодействий.
В качестве приложений развитой теории исследованы области резонанса для уравнения Хилла с демпфированием. Дано описание этих областей (половинок конусов) в трехмерном пространстве параметров. В качестве примера рассмотрен параметрический резонанс маятника с точкой подвеса, колеблющейся по произвольному периодическому закону. Другим важным приложением уравнения Хилла является исследование устойчивости периодических решений в динамике нелинейных систем. Показано, как с помощью полученных областей резонанса для уравнения Хилла находить устойчивые и неустойчивые периодические решения гармонически возбуждаемого уравнения Дуффинга.
Далее рассматриваются линейные колебательные системы со многими степенями свободы с периодическими коэффициентами, зависящие от трех независимых параметров: частоты и амплитуды периодического воздействия и параметра диссипативных сил, причем последние две величины предполагаются малыми. Исследуется неустойчивость тривиального решения (параметрический резонанс). Для произвольной матрицы периодического воздействия и положительно определенной матрицы диссипативных сил получены общие выражения для областей основного и комбинационного резонансов. Изучены два частных случая матрицы периодического возбуждения, часто встречающихся в приложениях: симметрической матрицы и стационарной матрицы, умноженной на скалярную периодическую функцию. Показано, что в обоих случаях области резонанса в первом приближении представляют собой конусы в трехмерном пространстве параметров. Полученные соотношения позволяют проанализировать влияние возрастания частот собственных колебаний и номера резонанса на области неустойчивости. Метод исследования областей параметрического резонанса, предложенный в данной работе, является новым и строгим. Он основан на анализе поведения мультипликаторов на комплексной плоскости и использует формулы для производных матрицы монодромии по параметрам.
В качестве механических примеров получено решение задачи В.В. Болотина об областях динамической устойчивости плоской формы изгиба балки, нагруженной периодическими моментами, и решена задача об устойчивости упругого стержня переменного сечения, сжатого периодической продольной силой.
Доклад представляет собой обзор результатов, полученных автором за последние 4 года совместно с П. Педерсеном, Ф. Солемом (Дания) и А.А. Майлыбаевым.
