Диффузия и взаимопроникновение параметров различных народнохозяйственных систем. Московский физико-технический институт (государственный университет). МФТИ (ГУ)

А.С. Зарубкин, М.А. Галахов

Московский физико-технический институт

Народнохозяйственная система с физической точки зрения, оказывается, подчиняется тем же уравнениям, что и некоторые системы, обычно рассматриваемые в физике. Например, одна из основных характеристик, капитал, перемещается по планете согласно следующему уравнению:

$\frac{{\partial K}} {{\partial t}} = k\Delta K - \mu \Delta$ , где $P_b$ –рентабельность.В стационарном случае получается $\Delta \left( {kK - \mu } \right) = 0$ . Здесь $\Delta = divgrad$ , на сфере имеет вид $\Delta = \frac{1} {{R^2 }}\frac{{\partial ^2 }} {{\partial \theta ^2 }} + \frac{1} {{R^2 \cos ^2 \theta }}\frac{{\partial ^2 }} {{\partial \varphi ^2 }} - \frac{{tg\theta }} {{R^2 }}\frac{\partial } {{\partial \theta }}$ . Одно решение видно сразу: $K = \frac{{\mu P_b }} {k}$ . Рентабельность по планете меняется, как и $\mu$ , и $k$ . Внутри каждой страны числа $\mu$ и $k$ свои, а на границах стран получаются скачки значений. Глобализация экономи-ки приведёт к выравниванию этих чисел по всей планете, и, так как $P_b$ в России минимальна [1] , то и капитал $K$ также будет иметь минимум.

Аналогичное уравнение описывает динамику плотности населения $\rho$ : $\frac{{\partial \rho }} {{\partial t}} = k\Delta \rho - \mu \Delta$ .

Здесь УЖ – уровень жизни. В стационарном случае, так же, как и для капитала $K$ , $\rho = \frac{{\mu УЖ}} {k}$ . Это «иллюстрирует» известную пословицу: «Рыба ищет, где глубже, а человек – где лучше». Для рассмотрения нескольких параметров в целом, запишем другое уравнение: $\frac{{\partial u}} {{\partial t}} = \kappa \Delta \bar u + \nabla U$ .

Здесь $\bar u$ – вектор параметров системы, а $U$ – функция полезности, зависящая от тех же параметров.

Пример:

$U = u =$ УЖ . Тогда $\kappa \Delta u = - 1$ (стационарный случай). Граничное условие (например): $\left. U \right|_{} = 0$ (оазис среди пустыни). Решение имеет вид: в одномерном случае $U\left| {_{x = \pm a} } \right. = 0$ $U = - x^2 + a^2$ (считаем k=1/2).

Наконец, можно рассмотреть взаимодействие двух культур: $\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\mathop {u_1 }\limits^ \bullet = \kappa _1 \Delta u_1 + \alpha _1 u_1 + \beta _1 u_2 u_1 } \\ {\mathop {u_2 }\limits^ \bullet = \kappa _2 \Delta u_2 + \alpha _2 u_2 - \beta u_2 u_1 } \\ \end{array} } \right.$ .

Здесь $u_1$ – интенсивность (мера) культуры, $\alpha _i$ – «производство» культуры. В данном случае первая культура «пожирает» вторую.

Литература

А.П. Паршев. Почему Россия не Америка. КРЫМСКИЙ МОСТ-9Д, ФОРУМ Москва 2000
М.А. Галахов, Ю.Н. Орлов «Математические модели жизнеустройства» ИПМ Препринт №33 за 2000 г.