Математика в музыке. Московский физико-технический институт (государственный университет). МФТИ (ГУ)

В.П. Ковалев

Московский физико-технический институт

Многие вопросы, связанные с природой музыки и ее воздействием на человека могут быть описаны языком математики. Так, музыкальные интервалы натурального звукоряда определяются отношениями частот близких натуральных чисел.

В то же время образование звука в музыкальных инструментах описывается математическими задачами.

Рассматривается задача о звучании язычковых музыкальных инструментов. Для этих инструментов характерно взаимодействие двух колебательных элементов – столба воздуха в трубе и язычка. Колебания описываются следующей системой уравнений:

$\begin{gathered} mL\varphi _{tt} (t) = - k\varphi (t) - S(p(l,t) - p_{00} ), \hfill \\ p_{tt} (x,t) = a^2 p_{xx} (x,t), \hfill \\ p(0,t) = p_0 , \hfill \\ p_x (x,t) mp b(p(x,t) - p_{00} )(\varphi _0 + \varphi (t)) = 0. \hfill \\ \end{gathered}$

Здесь φ– отклонение язычка, р – давление в трубе, $p_0$ – атмосферное давление, $p_{00}$ – давление в полости рта, m, L, k, S, b, $\phi_0$ – параметры язычка, a – скорость звука, верхний знак соответствует конструкции инструмента, когда язычок отклоняется наружу от трубы, а нижний знак – внутрь. Рассмотрены линейные колебания на фоне стационарного решения системы. Собственные частоты являются решением уравнения $tg\frac{{\omega l}} {a} = \pm \frac{\omega } {{ab}} \cdot \frac{{1 - \omega ^2 /\omega _0^2 }} {{(\varphi _0 + \varphi _{CT} )(1 - \omega ^2 /\omega _0^2 ) + \varphi _{CT} }}.$

Здесь jст – стационарное отклонение язычка, $\omega_0$ – частота собственных колебаний язычка.

Рассмотрен музыкальный инструмент, состоящий из струны и звучащего элемента. Предложена следующая модель инструмента:

$\begin{gathered} U_{tt} (x,t) = a^2 U_{xx} (x,t), \hfill \\ mV_{tt} (t) = - kV(t) - \alpha V_t (t) - TU_x (x,t), \hfill \\ U(0,t) = 0,\begin{array}{*{20}c} {} \\ \end{array} U(0,l) = V(t). \hfill \\ \end{gathered}$

Здесь U – отклонение струны, V – отклонение звучащего элемента, a, m, k, α, T – параметры инструмента.

Решение ищем в виде $U = e^{\lambda t} A(x)$ , $V = e^{\lambda t} B$ .

Уравнение для определения λ имеет вид: $(\lambda ^2$ $m + \lambda a + k)th(\lambda l/a) + T\lambda /a = 0.$