О математическом моделировании народнохозяйственной системы. Московский физико-технический институт (государственный университет). МФТИ (ГУ)

И.В. Клеев, студент IV курса

М.А. Галахов, профессор

Московский физико-технический институт

В основе данного доклада лежит простая мысль: сколько продукции производится, столько и идет на потребление и развитие, а именно - (E-A)B. Здесь A - матрица Леонтьева, элементы которой $a_{ij}$ - необходимые количества $i$ - го продукта для производства единицы $j$ - го, $E$ - единичная матрица, а $B$ - вектор выпуска продукции. Отметим, что нельзя путать $B$ и (E-A)B , т. к. часть $B$ уйдет на производство каких – то других товаров, входящих в $B$ . На что можно (нужно) потратить эту продукцию. Конечно, на личное потребление людей $П^1$ , затем на финансирование «общих» расходов $П_{b0}$ (армия, образование, гос. аппарат, но за исключением зарплат бюджетникам) и на инвестирование в производственные мощности $I$ . В результате получим уравнение: $(E-A)B = П^1 + П_{b0} + I$ $\left( 1 \right)$ Очевидно, что $B= lП_{{\rm T}}$ . Здесь $l$ - число работающих людей, а $П_{{\rm T}}$ - производительность труда (вектор). Обозначим за ${П_{b0}}^1$ - личную потребность одного человека (не учитываем её изменение во времени). Тогда гарантированное потребление $П_\Gamma = \bar П_\Gamma {П_{b0}}^1$ , где $\bar П_\Gamma$ - обезразмеренное гарантированное потребление. Значит, $П^1 = \left( {lk + l^0 } \right)\bar П_\Gamma {П _{b0}}^1$ , где ${Пl}^0$ - население всей системы и $k + 1$ - сколько $\bar П_\Gamma$ получает работающий человек. А $П_0 = l^0 {П_{b0}}^0$ , где ${П_0}^0$ - средняя «общественная» нагрузка на одного человека. Введем новые обозначения: $(E-A)^{ - 1} {П_{b0}}^1 = {B_0}^1$ и $(E-A)^{ - 1} {П_{b0}}^0 = {B_0}^0$ есть выпуски продукции, необходимые для удовлетворения личной и «средней общественной» потребностей, $(E-A)^{ - 1} I = J$ - выпуск продукции, нужный для направления на инвестиции величины $I$ . Подставим все эти выражение в уравнение : $l = \left( {lk + l^0 } \right)\bar П_\Gamma \frac{{{П_{b0}}^1 }} {{П_{\rm T} }} + l^0 \frac{{{П_{b0}}^0 }} {{П_{\rm T} }} + \frac{J} {{П_{\rm T} }}$ $\left( 2 \right)$ Теперь приближенно опишем зависимость $l$ от остальных параметров формулой $l = \frac{{l^0 }} {2}\frac{k} {{k + \bar П_\Gamma }}$ . Подставив это выражение в уравнение $\left( 2 \right)$ , мы получим $\frac{k} {{k + \bar П_\Gamma }} = \left( {\frac{{k^2 }} {{k + \bar П_\Gamma }} + 2} \right)\bar П_\Gamma \frac{{{B_0}^1 }} {{П_{\rm T} }} + 2\frac{{{B_0}^0 }} {{П_{\rm T} }} + \frac{J} {{l^0 П_{\rm T} }}$ $\left( 3 \right)$ Исследованию поведения решения этого уравнения посвящен доклад $\left[ 2 \right]$ .

Литература

М.А. Галахов, Ю.Н. Орлов «Математические модели жизнеустройства» ИПМ Препринт №33 за 2000 г.
И. Клеев. Исследование основного уравнения народнохозяйственной системы. Настоящий сборник.