Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Вход Регистрация

Теория управления

 

Основы математической теории управления (лекции)

программу составил к.ф.-м.н., доцент Козьминых В.А.

Часть I

ФАКИ, 3 курс, весенний семестр

  1. Исторические аспекты возникновения теории управления. Регулятор Уатта. Задача о брахистохроне. Объект управления, фазовые координаты, управляющие функции, уравнения состояния объекта, управляющее устройство. Расширенное фазовое пространство управляемой системы. Способы задания цели управления. Функционал задачи.

2. Управление спуском КА в атмосфере планеты как характерный пример задачи управления и как иллюстрация понятий, введённых в лекции 1. Замкнутые и разомкнутые системы управления. Программа управления, синтез управления. Обратная связь по координатам и по возмущениям. Оценка сложности задачи управления нелинейной системой. Аналитические подходы к решению линейных задач. Пример из экономической либо финансовой сферы.

3. Система управления с обратной связью и её математическое описание с помощью линейной системы дифференциальных уравнений. Звено системы управления и его описание с помощью линейного дифференциального уравнения n-го порядка. Операторный подход Хевисайда, операторная передаточная функция звена, её использование для исследования устойчивости по входу. Характеристический многочлен. Математическая формализация подхода Хевисайда с помощью преобразования Лапласа. Основные положения операционного исчисления. Передаточная функция звена H(s), матричная передаточная функция линейной системы, смысл элементов матричной передаточной функции. Передаточная функция системы управления при различных видах соединения звеньев: последовательном, параллельном, с обратной связью.

4. Свойства преобразования Лапласа. Теорема единственности. Таблица изображений для ряда элементарных функций. Преобразование Лапласа для свёртки функций. Алгебра передаточных функций. Перенос точки съёма сигнала и точки суммирования сигналов с целью получить более простую эквивалентную схему. Отклик системы на стандартные воздействия: дельта-функцию, тета-функцию, гармоническое колебание. Весовая функция, переходная функция, амплитудно-фазовая характеристика. Связь между весовой и переходной функциями. Связь между передаточной функцией и амплитудно-фазовой характеристикой. Использование весовой функции для нахождения отклика системы на произвольное внешнее воздействие.

5. Типовые звенья как элементарные ячейки сложной системы управления. Получение уравнений типовых звеньев из общего вида линейного дифференциального уравнения n-го порядка. Идеальный усилитель, интегрирующее звено, дифференцирующее звено, апериодическое звено. Примеры этих звеньев как реальных устройств. Построение для перечисленных типовых звеньев передаточных, весовых, переходных функций и амплитудно-фазовых характеристик. Интерпретация этих функций и характеристик для реальных типовых звеньев. Пример получения чистого интегратора из апериодического звена и идеального усилителя, объединённых положительной обратной связью.

6. Следящая система. Передаточные функции для ошибки по задающему воздействию и по возмущению. Исследование точности следящей системы. Различные подходы к синтезу инвариантной системы: увеличение коэффициента усиления, введение положительной обратной связи, введение корректирующих звеньев. Принципиальные сложности синтеза инвариантных систем при управлении по отклонению. Исследование точности следящей системы на больших интервалах времени и в предельном случае. Понятие о статической ошибке и устранение этой ошибки путём введения в контур управления интегрирующих звеньев. Астатические системы.

7. Устойчивость системы управления по начальным данным и её устойчивость по входу. Ограниченность входного и выходного сигналов. Суждение об устойчивости системы по её весовой и передаточной функциям. Связь устойчивости системы с расположением корней характеристического полинома. Алгебраические и графические критерии устойчивости (необходимое условие, критерий Рауса-Гурвица, критерий Михайлова). Непрерывная зависимость корней полинома от его коэффициентов. Граница устойчивости в комплексной плоскости корней полинома и граница устойчивости в плоскости параметров системы. Метод Д-разбиения для нахождения областей устойчивости в плоскости параметров. Пример использования метода Д-разбиения.

8. Характеристический полином системы управления с отрицательной обратной связью. Графический метод исследования устойчивости замкнутой системы управления. Суждение об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутой системы (критерий Найквиста). Использование АФЧ-харакеристик для анализа устойчивости сложных систем при отсутствии их точной математической модели. Передаточная функция звена запаздывания. Устойчивость системы с обратной связью при наличии запаздывания.

9. Структурная устойчивость систем управления. Пример системы с двойным интегратором и апериодическим звеном. Пример системы с одним интегратором и неустойчивым звеном. Локальная обратная связь как один из способов изменения структуры системы управления и устранения структурной неустойчивости. Переход от операторного описания систем управления к их описанию в пространстве состояний (алгоритм). Обобщение линейной системы управления на случай векторного входа и векторного выхода. Матричная передаточная функция. Весовая функция, переходная функция, характеристический полином для многомерной линейной системы управления общего вида.

10. Описание многомерной линейной системы в пространстве состояний. Свойства управляемости и наблюдаемости линейных систем. Необходимые и достаточные условия управляемости и наблюдаемости. Программное управление и синтезирующее управление (управление с обратной связью).

11.  Робастная система управления, как система, сохраняющая свои основные свойства при некотором изменении её параметров. Робастная устойчивость линейных систем. Теорема Харитонова о робастной устойчивости полинома с независимыми коэффициентами.

12. Нелинейные элементы в системе управления. Примеры нелинейных элементов и их характеристик. Характерные особенности нелинейных элементов - зона нечувствительности и участок неоднозначности (гистерезис). Метод фазовой плоскости при исследовании следящей системы с одним нелинейным элементом. Фазовый портрет, предельный цикл, автоколебание.

 

 

Часть II

ФАКИ, 4 курс, осенний семестр

 1. Краткое повторение основных положений математической теории управления, рассмотренных в предыдущем семестре. Описание системы управления в пространстве состояний. Описание линейных систем с помощью операторного метода. Передаточная функция, характеристический полином. Необходимость в развитии новых методов для исследования существенно нелинейных систем.

2. Вариационный анализ нелинейных систем управления. Формула для малых изменений фазовых переменных при изменении начальных условий и управлений. Информационная матрица П(t). Дифференциальные уравнения и граничные условия для П(t).

3. Пример вычисления информационной матрицы для гармонического осциллятора. Формула для малых приращений терминального функционала при изменении начальных условий и управлений. Простейшая задача оптимального управления.

4. Сопряжённые переменные, функция Гамильтона-Понтрягина, сопряжённая система, условия трансверсальности. Принцип максимума Л.С. Понтрягина - необходимое условие оптимальности.

5. Типичные задачи теории оптимального управления. Описание условий старта и финиша траектории с помощью гиперповерхности в расширенном фазовом пространстве. Модифицированные условия трансверсальности.

6. Решение задач по теме «Принцип максимума Л.С. Понтрягина».

7. Связь принципа максимума Л.С.Понтрягина с классической механикой (вывод уравнений движения из условия минимизации действия по Гамильтону). Нелокальный вариационный анализ управляемых систем. Поле траекторий. Опорная функция. Формула для больших приращений функционала.

8. Частные производные опорной функции. Уравнение Р.Беллмана для поиска оптимального управления в форме синтезирующей функции. Преимущества и недостатки этого метода по сравнению с методом принципа максимума Л.С.Понтрягина.

9. Формализация задачи управления спуском космического аппарата в атмосфере планеты. Фазовые переменные, управляющие переменные, возмущения,  функционал задачи, терминальные условия, фазовые ограничения, уравнения движения.

10. Классические оптимизационные задачи ракетодинамики: подъём ракеты на максимальную высоту при заданном ресурсе топлива, достижение заданной высоты подъема ракеты с минимальным расходом топлива, достижение максимальной скорости полёта на заданной высоте.

 

Дополнительная литература

Часть I

Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления. - М., Наука, 1986, 616 с.

Егоров А.И. Основы теории управления. - М., Физматлит, 2004. 504 с.

Пантелеев А.В., Бортаковский А.С. Теория управления в примерах и задачах. - М., Высшая школа, 2003, 583 с.

Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М. Наука. 2002

Филлипс Ч., Харбор Р. Системы управления с обратной связью. М., Лаборатория базовых знаний, 2001, 616 с.

Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. -  М., Лаборатория базовых знаний, 2001.

Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем.- М., Наука, 1977, 560 с.

Айзерман М.А. Теория автоматического регулирования. - М., 1966, 3-е изд., 452 с.

Теория автоматического управления (учебное пособие для вузов в 2-х частях под редакцией Воронова А.А). - М. Высшая школа, 1986.

Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. - М., Наука, 1978, 552 с.

Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. - М., Наука, 1966, 992 с.

Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления. - М., Наука, 1978, 256 с.

Справочник по теории автоматического управления. Под редакцией Красовского А.А. - М., Наука, 1987, 712 с.

Математические основы теории автоматического регулирования (в 2-х томах под редакцией Чемоданова Б.К.). - М., Высшая школа, 1977.

Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления. Под редакцией Бесекерского В.А. - М., Наука, 5-е издание, 1978.

Топчеев Ю.И., Цыплаков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования. - М., Машиностроение, 1977, 592 с.

Задачник по теории автоматического управления. Под редакцией Шаталова А.С. - М., Энергия, 1974.

Часть II

Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. - М., Наука, 1983, 392 с.

Егоров А.И. Основы теории управления. - М., Физматлит, 2004. 504 с.

Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. - М., Наука, 1988, 552 с.

Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления. - М., Наука, 1986, 616 с.

Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. - М., Наука, 1978, 552 с.

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-fl
Яндекс.Метрика