Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.

Студенческая жизнь в МФТИ насыщенна и разнообразна. Студенты активно совмещают учебную деятельность с занятиями спортом, участием в культурно-массовых мероприятиях, а также их организации. Администрация института всячески поддерживает инициативу и заботится о благополучии студентов. Так, ведется непрерывная работа по расширению студенческого городка и улучшению быта студентов.

Вход Регистрация

Математические модели механики сплошных сред (1 часть)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Московский физико-технический институт

(государственный университет)

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

               Ю.А. Самарский

               21 мая  2004 г.

П Р О Г Р А М М А

по курсу   МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

по направлению   511600

факультет   ФУПМ

кафедра   вычислительной математики

курс   IV

семестр   7

лекции  – 34 часа                               Экзамен –  нет

практические ( семинарские )                              

занятия – 34 часа                               Диф. зачет – 7 семестр

лабораторные занятия – нет             Самостоятельная работа –

                                                                  2 часа в неделю

ВСЕГО ЧАСОВ   68

Программу составил         д.ф.-м.н., профессор  Г.А. Тирский

Программа обсуждена на заседании

кафедры вычислительной математики

28 апреля  2004 года.

Заведующий кафедрой                                        А.С. Холодов

ВВЕДЕНИЕ

Микроскопическое ( динамическое и статистическое) и макроскопическое (гидродинамическое и феноменологическое) описание физических систем, состоящих из очень большого числа частиц.

Основные гипотезы МСС: гипотеза сплошности, физически бесконечно малый объем, евклидовость пространства, абсолютное время, механика Ньютона, классическая  термодинамика, электродинамика материальных сплошных сред.

Предмет МСС. Основные разделы МСС: гидродинамика, газодинамика, физико-химическая газодинамика, магнитная гидродинамика, теория упругости, термоупругость, теория пластичности и ползучести металлов. Реология.

Методы МСС. Связь с экспериментом. Роль математического анализа. Асимптотические методы. Роль численных методов, численного моделирования с применением ЭВМ в современных исследованиях по МСС.

Вычислительная гидродинамика, вычислительная теория упругости и т.д.

 

I . ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Краткая история возникновения тензорного исчисления. Необходимость применения тензорного аппарата в механике и физике. Задачи тензорного исчисления.

I .1. Системы координат. Касательный (основной) и взаимный базисы. Понятия тензора и правило преобразования его компонент.

Системы криволинейных координат в евклидовом пространстве. Локальный (основной) касательный базис в трехмерном евклидовом пространстве. Взаимный (сопряженный, биортогональный) базис. Объем параллелепипеда, построенного на векторах основного и взаимного базисов. Два способа  вычисления взаимного базиса. Сохранение ориентации при переходе к взаимному базису и обратно. Разложение основного базиса по взаимному и обратно. Базисные матрицы касательного и взаимного базисов, взаимно обратные матрицы. Дискриминант базиса. Формулы для объемов параллелепипедов, построенных на векторах базисов. Взаимный базис образует тройку некомпланарных векторов. Разложение бесконечно малого вектора по основному (касательному) и взаимному базису. Неголономность координат бесконечно малого вектора во взаимном базисе. Представление произвольного вектора в основном и взаимном базисах. Ковариантные и контравариантные компоненты вектора. Ортогональные и параллельные проекции вектора. Физические компоненты вектора. Связь между ковариантными и контравариантными компонентами вектора. Операция поднятия и опускания индексов у компонент вектора. Скалярное произведение двух векторов. Длина вектора. Угол между двумя векторами. Символы Леви-Чивита. Векторное произведение базисных векторов. Формулы обращения. Векторное произведение двух векторов. Смешанное произведение. Площади элементарных координатных площадок. Объем элементарного координатного параллелепипеда. Ковариантные компоненты орт-нормали к элементарной площадке произвольной ориентации. Преобразование координат. Преобразование контрвариантных компонент бесконечно малого перемещения и основного базиса. Формулы преобразования компонент базисной матрицы. Преобразование ковариантных компонент бесконечно малого вектора перемещения и взаимного базиса. Аффинные ортогональные преобразования. Определение скаляра, примеры геометрических и физических величин, преобразующихся как контравариантные и ковариантные компоненты вектора. Полиадные (диадные, триадные и т.д.) произведения векторов базиса. Определение тензора второго и более высокого ранга. Метрический тензор. Определение псевдотензора. Эквивалентность в трехмерном пространстве антисимметричного тензора второго ранга аксиальному вектору.

I .2. Tензорная алгебра

Умножение тензора на число. Сложение (вычитание) тензоров. Операции симметрирования и альтернирования тензоров второго ранга. Неопределенное (полиадное) умножение тензоров. Операции сокращения индексов. Скалярное произведение (свертка) тензоров. Представление компонент тензора через скалярное произведение тензора и базисных векторов. Двойная свертка тензоров. След тензора второго ранга. Определитель тензора. Обратный тензор. Нулевой тензор. Обратный тензорный признак. Собственные векторы и собственные значения симметричного тензора второго ранга. Инварианты симметричного тензора. Свойства собственных векторов и собственных значений. Представление тензора в ортонормированном базисе собственных векторов.

I.3.Тензорный анализ 

Производные от базисных векторов по ко- и контравариантным координатам. Деривационные формулы ко- и контравариантных базисных векторов. Символы Кристоффеля 1-го и 2-го рода, их свойства: симметрия, правило поднятия и опускания индексов (формулы взаимности) у символов Кристоффеля, производные от компонент метрической матрицы через символы Кристоффеля, свертка символов Кристоффеля 2-го рода (сокращенные символы Кристоффеля), символы Кристоффеля в криволинейной системе координат. Коэффициенты Ламе. Операция Набла–Гамильтона, производные от скаляра, вектора, тензора по криволинейным координатам. Ковариантное дифференцирование. Свойство ковариантного дифференцирования базисных векторов и компонент метрического тензора. Тождество Риччи. Градиент, дивергенция, ротор. Лапласиан, бигармонический оператор в произвольной криволинейной системе координат. Теорема Остроградского–Гаусса. Теорема Стокса.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Седов Л.И. Механика сплошной среды. – М.: Наука,  1983.—Т.1.

2. Механика сплошных сред в задачах. – Т. 1. Теория и задачи. – Т.2. Ответы и решения /Под ред. Эглит М.Э. — М.: Изд-во Московский лицей, 1996.

3. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. — М.: Изд-во АН СССР, 1951.

4. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. — М.: Наука, 1980.

Приложение. Тензорная алгебра и тензорный анализ. — С. 422–500.

5. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. — М.: Наука, 1978.

6. Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. — М.: Высшая школа, 1966.

7. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. — М.: Изд-во МГУ, 1987.

8. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1986.

II . КИНЕМАТИКА ДЕФОРМИРУЕМОИ СПЛОШНОЙ   СРЕДЫ

  II .1. Различные способы описания движения (деформации) сплошной среды

Пространственные и материальные координаты. Описание движения сплошной среды в переменных Лагранжа. Точка зрения Эйлера на описание сплошной среды. Переменные Эйлера. Переход от переменных Лагранжа к переменным Эйлера и наоборот. Индивидуальная и местная производные по времени от скаляра и вектора в переменных Эйлера и Лагранжа. Скорость и ускорение частиц сплошной среды в переменных Эйлера и Лагранжа. Траектория жидкой частицы, линия тока. Поверхность тока.

II .2. Тензор деформации

Вектор перемещения. Определение тензора деформации Грина и Альманси. Выражение тензора деформаций через компоненты вектора перемещений. Кинематический смысл компонент деформаций. Главные значения и главные оси деформации. Условия совместности (сплошности) деформаций Сен-Венана. Геометрически линейная механика. Определение перемещений по компонентам тензора малой деформации (Формула Чезаро).

II .3. Тензор скоростей деформации

Мгновенное состояние движения сплошной среды. Тензор скоростей деформации. Вектор вихря, его кинетический смысл. Циркуляция скорости. Теорема Гельмгольца о распределении перемещений и скоростей в жидкой частице.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Седов Л.И. Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1983. – Т.1.

2. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука,1987.

3. Амензаде Ю.А. Теория упругости. — М.: Высшая школа, 1976.

4. Введение в механику сплошных сред / Под ред. Черных К.Ф. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1984.

 

Задание можно скачать здесь (Word - zip-архив 77,8 кб)

МФТИ в социальных сетях

soc-vk soc-fb soc-tw soc-li soc-fl
Яндекс.Метрика